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Aufgabe:

Es ist Sommer und du kaufst ein Eis. Du erinnerst dich, dass bei Eispackungen im Supermarkt die Menge an Eis in Litern angegeben ist. Das bringt dich dazu, das Volumen in deiner Eistüte bestimmen zu wollen!

1. Nach Deiner Messung ist die Eistüte 16 cm hoch und die Öffnung hat einen Durchmesser von 6 cm. Wie viel Liter Eis befinden sich darin?

2. Wie groß müsste deine Eistüte sein, um dasselbe Volumen fassen zu können wie eine Packung mit 1 Liter Eis?

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Kennst du die Formel zur Berechnung vom Volumen eines Kegels?

2 Antworten

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Das Volumen eines Kegels berechnest du mit \(V=\frac{1}{3}\pi \cdot r^2\cdot h\).

1.)

Da 1 Liter gleich 1 Kubikdezimeter ist, wandelst du die Maße erst in Dezimeter um.

\(h=1,6~\text{dm}; r=0,5\cdot d=0,5\cdot 0,6~\text{dm}=0,3~\text{dm}\)

\(V=\frac{1}{3}\pi \cdot \underbrace{(0,3~\text{dm})^2}_{r^2}\cdot\underbrace{1,6~\text{dm}}_{h}\approx0,1508~\text{dm}^3=0,1508~\ell\)

2.)

Die Höhe und der Radius sollen beide proportional verlängert werden, sodass das Volumen 1 Liter beträgt, d.h. beide müssen mit dem gleichen Faktor k multipliziert werden.

\(R=k\cdot r ; H=k\cdot h\)

Das setzen wir jetzt in die Formel ein, außerdem V=1 Liter und berechnen k. Damit kannst du die neue Höhe und den neuen Radius berechnen.

\(1~\ell=1~\text{dm}^3=\frac{1}{3}\pi \cdot (k\cdot0,3~\text{dm})^2\cdot k\cdot1,6~\text{dm}\)

\(1~\ell=1~\text{dm}^3=k^3\cdot\frac{1}{3}\pi \cdot (0,3~\text{dm})^2\cdot1,6~\text{dm}\)

\(1\approx k^3\cdot 0,1508\)

\(k\approx\sqrt[3]{\frac{1}{0,1508}}\approx 1.8788\)

\(R=k\cdot r\approx 1,8788 r \approx5,64~\text{cm} ; H=k\cdot h\approx 1,8788 h \approx 30,06~\text{cm}\)

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Vielen Dank

Aber wo haben Sie die 1,6 Liter her und 0,3.

Also ich verstehe Ihre Rechnung bei 1.) nicht.

Ich habe meine Lösung abgeändert und hoffe, dass du sie jetzt besser verstehst.

Vielen Dank

woher kommen die 0,5; 0,6 und 0,3 ?

Und bei Aufgabe 2.) weiß ich leider nicht was Sie mit R und k meinen.

Der Durchmesser d beträgt 6cm, das sind 0,6dm.

Der Radius ist der halbe Durchmesser, also 3cm bzw. 0,3 dm. Da 1/2=0,5 ist, kann man den Durchmesser mit 0,5 multiplizieren.

Die Höhe beträgt 16cm=1,6dm.

Bei der 2. Aufgabe hat man einen größeren Radius und eine größere Höhe. Um sie von der 1. Aufgabe zu unterscheiden, habe ich sie R und H genannt.

Und k ist der Verlängerungsfaktor.

Beispiel: Wenn ich r=0,3dm und h=1,6dm beide verdopple, sind R=0,6dm und H=3,2dm. Ich habe also mit k=2 multipliziert.

Aber woher sind die 1/2 jetzt her?

Der Radius r ist die Hälfte vom Durchmesser d.

Also musst du d durch 2 teilen oder mit \(\frac{1}{2}\) malnehmen. Da \(\frac{1}{2}=0,5\) ist, kann man auch mit 0,5 malnehmen.

\(r=d:2=\frac{1}{2}\cdot r=0,5\cdot r\)

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h = 16 cm
r = 3 cm
V = G * h * 1/3 = r^2 * pi * h * 1/3
V = 150.796 cm^3
1000 cm^3 = 1 Liter
V = 0.1508 Liter

Es gibt unendlich viele Kegelformen
die das Volumen von 1 l = 1000 cm^3 haben

V = 1/3 * r^2 * pi * h = 1000

Bei angenommemen r
h ( r ) = 1000 / ( 1/3 * r^2 * pi )
Bei angenommenem h
r^2 = 1000 / ( 1/3 * h * pi )
r ( h ) = √ [ 1000 / ( 1/3 * h * pi ) ]

Soll die neue Tüte dasselbe Proportionsverhältnis
von h / r haben gilt
( 16 cm * k ) / ( 3 cm * k )

V = 1/3 * ( 3 * k )^2 * pi * 16 * k = 1000
1/3 * ( 9 * k^2 ) * pi * 16 * k = 1000
48 * pi * k^3 = 1000
k = 1.878

neu h = 16 * 1.878
neu r = 3 * 1.878
neu d = ( neu r ) * 2

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