bestimme Basis von Bild(f) Sei f : M_22 -> M_23

Question

Aufgabe:

Sei Mnm der Raum aller n x m Matrizen Sei f : M_22 -> M_23 gegeben durch:

$$f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} a & b + c & d \\ b & a + d & a\end{pmatrix}$$

bestimmen Sie eine Basis von Bild(f)
Problem/Ansatz:

habe diesen Ansatz probiert :

$$\begin{pmatrix} a & b + c & d \\ b & a + d & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$

aber nichts gescheites herausgefunden. Ist mein  Ansatz überhaupt richtig?

Ich habe es auch mit Zahlen einsetzen versucht, darf man das machen?

Danke

Answer 1

Wir betrachten die Bilder der Basisvektoren:
$$f(\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&1\end{array}\right)$$$$f(\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\end{array}\right)$$$$f(\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)$$$$f(\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&1&0\end{array}\right)$$
Wir fassen die 4 Bildmatrizen als Zeilenvektoren in 6 Komponenten auf
(zeilenweise gelesen) und bilden aus diesen 4 Zeilen eine Matrix:
$$\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&0\end{array}\right)$$Wir bestimmen die reduzierte Stufen-Normalform dieser Matrix:
$$\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&0\\0&0&0&1&0&0\end{array}\right)$$

Der Rang ist 4, also sind die vier angegebenen Bildmatrizen
linear unabhängig und bilden damit eine Basis von Im(f).