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Aufgabe:

ich übe gerade das Thema Differentialgleichungen und frage mich, wie ich meine Lösung eines Differentialgleichungssystems kontrollieren kann. Ich zeige erstmal wie ich das bei einer einfachen Differentialgleichung mache:


\(y' = 3xy\)

\(\frac{dy}{dx} = 3xy\)
\(dy = 3xy \cdot dy\)
\(\frac{1}{y} \cdot dy = 3x \cdot dx\)
\(\int \frac{1}{y} \cdot dy = \int 3x \cdot dx\)
\(\ln{y} = \frac{3}{2} \cdot x^2\)

\(y = e^{\frac{3}{2} \cdot x^2}\)

Nun leite ich zur Kontrolle y ab:


\(y' = \frac{dy}{dx}(e^{\frac{3}{2} \cdot x^2}) = e^{\frac{3}{2} \cdot x^2} \cdot 3x\)

Und setze die es anschließend in die Gleichung ganz oben ein:


\(e^{\frac{3}{2} \cdot x^2} \cdot 3x = 3x \cdot e^{\frac{3}{2} \cdot x^2}\)



Nun das Differentialgleichungssystem:

\( y_1' = 2y_1 + 3y_2 \)

\( y_2' = 5y_1 + 4y_2 \)

Da habe ich die Eigenwerte \( \lambda_1 = -1, \lambda_2 = 7 \) raus.

Und komme damit auf die Eigenvektoren \( v_{\lambda_1} = (-t, t)^T , v_{\lambda_2} = (\frac{3}{5} t, t )^T \).

Die Lösung sieht dann so aus:

\( (y_1(t), y_2(t))^T = e^{-t} \cdot (-t, t)^T + e^{7t} \cdot (\frac{3}{5} t, t )^T \)


Wie mache ich nun die Kontrolle, ob meine Lösung stimmt?

von

1 Antwort

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die Lösungen des DGL -Systems sind:

y1= C1 e^(7t)  +C2 e^(-t)

y2=(5/3) *C1 e^(7t)  -C2 e^(-t)

Du leitest y1 und y2 einmal ab.

y1' =7 C1 e^(7t)  -C2 e^(-t)

y2'=(35/3) *C1 e^(7t)  +C2 e^(-t)

Dann setzt Du das Ganze in die Aufgabe ein.

Wenn die Lösungen stimmen , ist die linke Seite= rechten Seite.

PS:

die 1, Aufgabe ist etwas "oberflächlich" bearbeitet worden.

y'=3xy

dy/dx= 3xy

dy/y =3xdx

ln|y|=(3/2)x^2+C  | e hoch

|y|=e^((3/2)x^2+C) =e^(3 /2)x^2  *e^C

y =e^((3 /2)x^2) *  ± e^C

y = C1 *e^(3/2)x^2

  

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