Hilfe bei Herleitung der Hessischen Abstandsformel

Question

Aufgabe:

Begründung der Abstandsformel:

P sei ein Punkt, der auf derjenigen Seite der Ebene E liegt, nach der $\vec{n}_{0}$ zeigt. Dann gilt folgende Rechnung:
$(\vec{p}-\vec{a}) \cdot \vec{n}_{0}=\overrightarrow{A P} \cdot \vec{n}_{0}=(\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F P}) \cdot \vec{n}_{0}$
$=\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \vec{n}_{0}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}$ $=|\overrightarrow{\mathrm{AF}}| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}\right| \cdot \cos 90^{\circ}+|\overrightarrow{\mathrm{FP}}| \cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{n}}_{0}\right| \cdot \cos 0 °$ $=|\overrightarrow{\mathrm{FP}}|= d$

Liegt P auf der anderen Seite von E, so ergibt sich $(\vec{p}-\vec{a}) \cdot \vec{n}_{0}=-d$
Insgesamt: $d=\left|(\vec{p}-\vec{a}) \cdot \vec{n}_{0}\right|$

Ansatz:

Ich muss die hessische Abstandsformel herleiten. Ich bräuchte Hilfe woher plötzlich cos 90 Grad bzw. cos 0 Grad herkommen. Der Rest ist soweit eigentlich klar.

Comments

Ich muss es nur anhand der Abbildung in der Schule erklären. Kann mir da jemand helfen und das mal komplett erklären?

Das wäre sehr sehr lieb!!!

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Ich rate davon ab, den Begriff "hessische Abstandsformel" zu verwenden.

Answer 1

 Der Vektor AF liegt in der Ebene und schließt mit dem Normalenvektor den Winkel 90° ein. Der Cosinus kommt durch das Skalarprodukt.

Vektor FP verläuft senkrecht zur Ebene und daher parallel zum Normalenvektor. Der Winkel zwischen beiden ist also 0° (bzw. 180°).

Skalarprodukt: $\vec{a}\cdot\vec{b}=|a|\cdot|b|\cdot\cos\varphi$

Dabei ist $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren.

Comments

Danke erstmal für deine schnelle Antwort. Also Betrachte ich für den ersten Winkel 90 Grad die Gerade AF zu der Geraden n0 (Normalenvektor)?. Und bei dem zweiten Winkel 0 Grad den Winkel zwischen PF und n0.

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Richtig, das sieht man ja auch in der Abbildung. Du solltest aber Vektor statt Gerade sagen.

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Danke für die schnelle Antwort. Kannst du mir nochmal genau erklären wie ich von Zeile zwei AF * n0 + FP * n0 zur dritten Zeile komme also den Betrag von AF, der Betrag von n0 und cos 90 Grad. Wieso kommt Cosinus bzw. der Betrag plötzlich ins Spiel?

Danke

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Zeile zwei: Skalarprodukt mit Vektoren

Zeile drei: Skalarprodukt mit Beträgen und cos

Guck dir mal meine Antwort genauer an. Da habe ich dir das Skalarprodukt aufgeschrieben.

Answer 2

Aloha :)

$\overrightarrow{AF}$ steht senkrecht auf $\vec n_0$, daher ist der Winkel zwischen ihnen $90^o$.

$\overrightarrow{FP}$ steht parallel zu $\vec n_0$, daher ist der Winkel zwischen ihnen $0^o$.

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren kann man auch mit ihren Beträgen schreiben:$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\angle(\vec a;\vec b)$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Kannst du mir nochmal genau erklären wie ich von Zeile zwei AF * n0 + FP * n0 zur dritten Zeile komme also den Betrag von AF, der Betrag von n0 und cos 90 Grad. Wieso kommt Cosinus bzw. der Betrag plötzlich ins Spiel?

Danke

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Du kannst das Skalarprodukt von 2 Vektoren entweder mit den Vektoren selbst schreiben oder mit deren Beträgen. Wenn du zu den Beträgen wechselst, musst du dafür einen Preis zahlen. Dieser Preis ist die Multiplikation mit dem Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren:

$$\underbrace{\overrightarrow{AF}\cdot\vec n_0}_{\text{2 Vektoren}}=\underbrace{|\overrightarrow{AF}|\cdot|\vec n_0|}_{\text{Länge der Vektoren}}\cdot\underbrace{\cos(90^o)}_{\text{"Preis" für den Wechsel}}$$$$\underbrace{\overrightarrow{FP}\cdot\vec n_0}_{\text{2 Vektoren}}=\underbrace{|\overrightarrow{FP}|\cdot|\vec n_0|}_{\text{Länge der Vektoren}}\cdot\underbrace{\cos(0^o)}_{\text{"Preis" für den Wechsel}}$$