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Zeigen, dass {p1,p2,p3} eine Basis von V bildet
Um zu zeigen, dass eine Menge von Polynomen
{p1,p2,p3} eine Basis eines Vektorraums
V bildet, müssen wir nachweisen, dass diese Menge linear unabhängig ist und den Raum
V aufspannt. Gegeben sind die Polynome:
-
p1(x)=x3−x+1
-
p2(x)=x3−1
-
p3(x)=x2−x
Da es hier spezifisch um den Nachweis der linearen Unabhängigkeit geht, konzentrieren wir uns darauf.
Eine Menge von Vektoren (in diesem Fall Polynome) ist linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren zum Nullvektor (hier das Nullpolynom) führt. Das bedeutet, wenn die Gleichung
c1p1+c2p2+c3p3=0 nur durch
c1=c2=c3=0 erfüllt ist, sind die Polynome linear unabhängig.
Setzen wir die Polynome in die Gleichung ein:
c1(x3−x+1)+c2(x3−1)+c3(x2−x)=0
Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme erhalten wir:
(c1+c2)x3+c3x2+(−c1−c3)x+(c1−c2)=0
Damit diese Gleichung für alle
x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten gleich Null sein:
-
c1+c2=0
-
c3=0
-
−c1−c3=0
-
c1−c2=0
Aus diesen Gleichungen folgt, dass
c1=c2=c3=0, was beweist, dass
p1,
p2 und
p3 linear unabhängig sind.
Allgemeine Schreibweise der Polynome in Vd und Linearität der Monome
Die allgemeine Form eines Polynoms in
Vd ist:
p(x)=adxd+ad−1xd−1+…+a1x+a0
Die Monome
1,x,x2,…,xd sind offensichtlich Bestandteile jedes Polynoms in
Vd. Um zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind, nehmen wir an, es gibt eine Linearkombination dieser Monome, die Null ergibt:
cdxd+cd−1xd−1+…+c1x+c0=0
Dies bedeutet, dass das Polynom für alle Werte von
x identisch null ist. Für ein Polynom vom Grad
d, das identisch null ist, müssen alle Koeffizienten gleich Null sein (
cd=cd−1=…=c1=c0=0). Daher sind die Monome
1,x,x2,…,xd linear unabhängig.
Dimension von Vd
Die Dimension eines Vektorraums wird durch die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums definiert. Da die Monome
1,x,x2,…,xd linear unabhängig sind und jedes Polynom in
Vd eindeutig als Linearkombination dieser Monome ausgedrückt werden kann, bilden diese Monome eine Basis von
Vd. Die Anzahl der Basisvektoren (hier Monome) entspricht der Dimension des Raums. Da es
d+1 Monome gibt (von
x0=1 bis
xd), ist die Dimension von
Vd gleich
d+1.