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Gegeben:

p1(x)=x³-x+1

p2(x)=x³-1

p3(x)=x²-x

Wie zeige ich die Menge {p1,p2,p3) zu einer Basis von V?

Wenn man die allgemeine Schreibweise der Polynome von Vd hat,

Vd:= {p(x)=Ad*Xd + Ad-1*Xd-1 +.....+ A1*X+A0 Ad Element R}

wie zeige ich, dass die Monome: 1,x, x²,....xd linear unabhängig sind in Vd

Und wie zeige ich die Dimension davon?

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Erster Teil:

Wie ergänze ich die Menge {p1,p2,p3) zu einer Basis von V?

Vgl. mein Kommentar hier

https://www.mathelounge.de/66657/berechne-polynome-grad-vektorraum-i…

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Antwort mit KI erzeugt

Zeigen, dass {p1,p2,p3} eine Basis von V bildet

Um zu zeigen, dass eine Menge von Polynomen {p1,p2,p3} \{p_1, p_2, p_3\} eine Basis eines Vektorraums V V bildet, müssen wir nachweisen, dass diese Menge linear unabhängig ist und den Raum V V aufspannt. Gegeben sind die Polynome:

- p1(x)=x3x+1 p_1(x) = x^3 - x + 1
- p2(x)=x31 p_2(x) = x^3 - 1
- p3(x)=x2x p_3(x) = x^2 - x

Da es hier spezifisch um den Nachweis der linearen Unabhängigkeit geht, konzentrieren wir uns darauf.

Eine Menge von Vektoren (in diesem Fall Polynome) ist linear unabhängig, wenn keine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren zum Nullvektor (hier das Nullpolynom) führt. Das bedeutet, wenn die Gleichung c1p1+c2p2+c3p3=0c_1p_1 + c_2p_2 + c_3p_3 = 0 nur durch c1=c2=c3=0c_1 = c_2 = c_3 = 0 erfüllt ist, sind die Polynome linear unabhängig.

Setzen wir die Polynome in die Gleichung ein:

c1(x3x+1)+c2(x31)+c3(x2x)=0c_1(x^3 - x + 1) + c_2(x^3 - 1) + c_3(x^2 - x) = 0

Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme erhalten wir:

(c1+c2)x3+c3x2+(c1c3)x+(c1c2)=0(c_1 + c_2)x^3 + c_3x^2 + (-c_1 - c_3)x + (c_1 - c_2) = 0

Damit diese Gleichung für alle xx erfüllt ist, müssen die Koeffizienten gleich Null sein:

- c1+c2=0c_1 + c_2 = 0
- c3=0c_3 = 0
- c1c3=0-c_1 - c_3 = 0
- c1c2=0c_1 - c_2 = 0

Aus diesen Gleichungen folgt, dass c1=c2=c3=0c_1 = c_2 = c_3 = 0, was beweist, dass p1p_1, p2p_2 und p3p_3 linear unabhängig sind.

Allgemeine Schreibweise der Polynome in VdV_d und Linearität der Monome

Die allgemeine Form eines Polynoms in VdV_d ist:

p(x)=adxd+ad1xd1++a1x+a0p(x) = a_dx^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_1x + a_0

Die Monome 1,x,x2,,xd1, x, x^2, \ldots, x^d sind offensichtlich Bestandteile jedes Polynoms in VdV_d. Um zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind, nehmen wir an, es gibt eine Linearkombination dieser Monome, die Null ergibt:

cdxd+cd1xd1++c1x+c0=0c_d x^d + c_{d-1} x^{d-1} + \ldots + c_1 x + c_0 = 0

Dies bedeutet, dass das Polynom für alle Werte von xx identisch null ist. Für ein Polynom vom Grad dd, das identisch null ist, müssen alle Koeffizienten gleich Null sein (cd=cd1==c1=c0=0c_d = c_{d-1} = \ldots = c_1 = c_0 = 0). Daher sind die Monome 1,x,x2,,xd1, x, x^2, \ldots, x^d linear unabhängig.

Dimension von VdV_d

Die Dimension eines Vektorraums wird durch die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums definiert. Da die Monome 1,x,x2,,xd1, x, x^2, \ldots, x^d linear unabhängig sind und jedes Polynom in VdV_d eindeutig als Linearkombination dieser Monome ausgedrückt werden kann, bilden diese Monome eine Basis von VdV_d. Die Anzahl der Basisvektoren (hier Monome) entspricht der Dimension des Raums. Da es d+1d + 1 Monome gibt (von x0=1x^0 = 1 bis xdx^d), ist die Dimension von VdV_d gleich d+1d + 1.
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