Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion ?!

Question

Aufgabe:

-Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion-

Untersuchen Sie, welche der folgenden Funktionen F auch Integralfunktionen sind. Geben Sie Bedingungen an, unter denen eine Stammfunktion auch eine Integralfunktion ist.

(1) F(x) = x^2 -1

(2) F(x) = x^ +1

(3) F(x) = cos(x)

(4) F(x) = cos(x) +2

Problem/Ansatz:

Also ich weiß, dass die Integralfunktion Ia diejenige Stammfunktion ist , welche an der Stelle a (also an der unteren Grenze) eine Nullstelle hat. Aber irgendwie komme ich jetzt nicht weiter und habe eine Denkblockade. :)

Answer 1

Es muss gelten, es gibt eine Funktion \( f(x) \) und ein \( a \in \mathbb{R} \) s.d. gilt $$  F(x) = \int_a^x f(t) dt $$

Nehmen wir mal Aufgabe (4).

Hier muss dann gelten $$ \cos(x) + 2 = \int_a^x f(t) dt $$ Durch ableiten beider Seiten folgt $$ -\sin(x) = f(x) $$ also muss gelten $$ \cos(x) + 2 = -\int_a^x \sin(t) dt = \cos(x) - \cos(a) $$ und daraus folgt $$   2 = -\cos(a) $$ Das geht aber nicht, da der Kosinus immer nur Werte zwishen \( +1 \) und \( -1 \) annimmt. Das ist also ein Beispiel dafür, das \( F(x) \)  keine Integralfunktion ist.

Der Rest geht genauso.

Comments

Vielen Dank !!! Hat mir schon ziemlich geholfen, da ich ja kein richtigen Ansatz hatte

Ich habe das jetzt mal mit (1) versucht...

_{x²-1 =\( \int\limits_{a}^{x} \)f(t) dt}

_{Ableitung:    2x = f(t)}

Dann:   x² -1 = \( \int\limits_{a}^{x} \)2x dt = x² - a²

1 = a²

—> also ist F(x) eine Integralfunktion

Stimmt das so ?

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Im Integral heisst es \( 2 \ t \ dt \) und nicht \( 2 \ x \ dt \) und das Ergebnis ist \( a = \pm 1 \)

Ansonsten ok.

Bei der zweiten Aufgabe hängt es vom Exopnenten ab was raus kommt. Bei gereadem Exponent ist es keine Integralfunktion bei ungeradem schon. Prüf es mal nach.