Häufungswert Beweis Konvergenz

Question

Hey bei folgenden Aufgaben weiß ich nicht wie man das beweisen soll

Sei (an) eine Folge in R, a ∈ R. Beweise:
(a) a ist Häufungswert von (an)
⇐⇒ Es gibt eine Teilfolge von (an), die gegen a konvergiert.
(b) (an) konvergiert gegen a
⇐⇒ (an) ist beschränkt und hat a als einzigen Häufungswert.

Answer 1

a ist Häufungswert von (an)
==>  Zu jeder ε-Umgebung von a gibt es

ein n∈ℕ mit  an ∈ U_ε(a)    #

Setze für jedes k∈ℕ  ε_k = 1/k und wähle als  a_k  so

ein (nach # existierendes) a_n ∈ Uε(a) aus .

Auf diese Weise hast du eine gegen a konvergierende

Teilfolge (a_k)_k∈ℕ denn durch die beschriebene Wahl

ist ja sicher gestellt, dass alle a_k auch Glieder von a_n sind.

Umgekehrt:  Ist  (a_k)_k∈ℕ eine gegen a konvergierende

Teilfolge von (a_n), dann gibt es zu jedem ε>0 ein

N so dass für alle k>N gilt  a_k  ∈ U_ε(a) .

Da  (ak)k∈ℕ eine Teilfolge ist, sind die ak auch

Folgenglieder von an, also enthält  Uε(a)

mindestens ein Folgenglied von an und somit ist a

ein Häufungspunkt von an.

Comments

vielen Dank. =-) !

Answer 2

b) "⇒"

(an) konvergiert gegen a

⇒ Sei ε>0 gegeben. Für alle n∈ℕ und n≥N, liegen dann alle a_n in einer ε-Umgebung um a

⇒ s=a-ε und S=a+ε sind untere und obere Schranken für die a_n mit Index ≥N.

Dann ist min(a_n,s I n<N) untere Schranke der ganzen Folge und max(a_n,S I n<N) obere. q.e.d.

Angenommen es gäbe noch einen 2. Häufungsdpunkt a'≠a. Dann könnte man um a und a' jeweils eine ε-Umgebung finden, so dass sich die ε-Umgebungen nicht überschneiden. Dann gäbe es unendlich viele Folgenglieder in der ε-Umgebung um a', die nicht in der ε-Umgebung um a wären, was der Konvergenz widerspricht.