Question

Seien (a_n),(b_n) beschränkte Folgen.

Zeigen Sie:

lim sup(a_n + b_n) ≤ lim sup a_n + lim sup b_n,
lim sup(a_n + b_n) ≥ lim sup a_n + lim inf b_n

Answer 1

Sei lim sup (n→∞) a_n = a und lim sup (n→∞) b_n = b. Dann gilt

∀ε > 0 ∃ n_ε,a ∈ N ∀ n ≥ n_ε,a : an ≤ a + ε 
∀ε > 0 ∃ n_ε,b ∈ N ∀ n ≥ n_ε,b : bn ≤ b + ε

Angenommen R := lim sup (n→∞) (a_n+b_n) > a+b. Dann wähle ich n₀ = max(n_{(R−(a+b))/3,a}, n_{(R−(a+b))/3,b})
und für n ≥ n₀ gilt:
a_n + b_n ≤ a + b + 2*(R − (a + b))/3 = R −(R− (a + b))/3

Also gilt für Häufungspunkt z* von z_n := a_n + b_n, dass z* ≤ R −(R−(a+b))/3 < R.

Das ist ein Widerspruch da R = lim sup (n→∞)(z_n) das Maximum aller Häufungspunkte von z_n ist.
Es gilt also R = lim sup (n→∞)(a_n + b_n) ≤ a+b