Zufallsvariablen Bernoulli

Question

Sei (X_i) eine Folge unabhängiger Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Wir bezeichnen mit S₁ die Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg, mit S₂ die Anzahl der Misserfolge zwischen dem ersten und dem zweiten Erfolg, und allgemein mit S_k die Anzahl der Misserfolge zwischen dem (k-1)ten und dem k-ten Erfolg. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen S₁.....S_nstochastisch unabhängig sind und bestimmen Sie die marginalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen.

 

Ich habe mir folgende Ding notiert, um einen Überblick zu bekommen:
Bernoulliverteilte Zufallsvariablen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p
S₁: #Misserfolge vor 1. Erfolg
S₂: #Misserfolge zwischen dem 1. und 2. Erfolg
S_k: #Misserfolge zwischen dem (k-1)ten und k-tem Erfolg

S₁ bis S_n sind stochastik unabhängig, wenn gilt:

P(S₁=s₁,S₂=s₂,....,S_n=s_n) = P(S₁=s₁)*P(S₂=s₂)*....*P(S_n=s_n)

Aber wie weißt man das jetzt nach? Hätte ich nur S₁ und S₂ wüsste ich, was zu tun ist. Aber da das Ganze jetzt bis S_n geht, weiß ich nicht, wie ich das aufschreiben soll......