Für welchen Wert von a ist folgende Funktion stetig?

Question

Aufgabe:

Für welchen Wert von a ist folgende Funktion stetig?

\( y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{2 x+1} & {\text { für } x<1} \\ {\frac{a}{x}} & {\text { für } x \geq 1}\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Wie soll ich da einen Wert für a finden ?

Answer 1

f ist in ℝ\{0} für alle x≠1 (für jedes a) stetig (rationale Funktion) , für x=0 ist f nicht definiert

an der Nahtstelle x = 1 muss nach Definition der Stetigkeit für den links- und den rechtsseitigen Grenzwert gelten:

\( \lim\limits_{x\to1-}f(x)  = \lim\limits_{x\to1+}f(x) = f(1)\) 

     2·1 + 1   =     a/1            =   a          ergibt dann  a=3

  denn der Grenzwert der rationalen Teilterme ist jeweils gleich deren Funktionswert

Gruß Wolfgang

Answer 2

Setze x = 1 und löse nach a auf, um zu ermitteln, wann die FW an dieser Stelle übereinstimmen.

2*1 + 1 = a/1 ⇒ a = 3