0 Daumen
902 Aufrufe

Welchen Wert müssen Sie in der folgenden Funktion f \mathrm{f} für a wählen, damit f \mathrm{f} überall stetig wird?

f(x) : =a f(x):=a , falls x=0 x=0 und f(x) : =x2sin(1x) f(x):=x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) falls x0 x \neq 0

Avatar von

Schau dir den Graphen an:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2*+sin%281%2Fx%29+x+to+0

An der Stelle x= 0 müssen die Teilfunktionen übereinstimmen.

An der Stelle x= 0 müssen die Teilfunktionen übereinstimmen.

An der Stelle x = 0  gibt es keine Teilfunktionen

Für x ≠0 geht die 2.Teilfunktion gegen 0 -> a muss 0 sein.

Für x ≠0  muss heißen   für x → 0

4 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Was hältst du von a = 0?

Avatar von 493 k 🚀

Ich habe hier ausprobiert und ich glaube auch, 0 wäre gut! Danke ;)

Wenn du auch findest das a = 0 gut ist, wie könntest du es dann nachweisen?

Die Funktion wäre stetig, wenn der rechtsseitige Grenzwert = linksseitigem Grenzwert = Funktionswert ist. Also solltest du mal den rechtsseitigen Grenzwert ermitteln. Aufgrund der Symmetrie ist das dann auch der linksseitige Grenzwert.

0 Daumen

a=limx0x2sin1x=0a=\lim\limits_{x\rightarrow 0} x^2sin \frac{1}{x}=0, denn 1<sin1x<1;x0-1<sin \frac{1}{x}<1;x\neq0

Avatar von
0 Daumen

Aloha :)

Du musst die überlegen, welchen Grenzwert f(x)f(x) für x0x\to0 hat. Dazu folgende Überlegung:

1sin(1x)1      (x2>0)  x2x2sin(1x)x2        x2f(x)x2-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1\;\stackrel{(x^2>0)}{\implies}\;-x^2\le x^2\sin\left(\frac1x\right)\le x^2\;\implies\; -x^2\le f(x)\le x^2Damit ist klar, dass:limx0f(x)=0\lim\limits_{x\to0}f(x)=0Die Funktion f(x)f(x) lässt sich also an der Stelle x=0x=0 durch f(0)=a=0f(0)=a=0 stetig ergänzen.

Avatar von 153 k 🚀
0 Daumen

lim x -> 0  [ x2 * sin( 1/x ) ]
lim x -> 0 [1/ x ] = 1/ 0 ist nicht definiert geht aber
gegen unendlich
der sin von unendlich schwankt zwischen -1 und 1
lim x -> 0 [x2] = 0

0 mal ( -1 .. 1 ) = 0

lim x -> 0  [ x2 * sin( 1/x ) ] = 0

Avatar von 123 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage