Alle additiven Abbildungen über Z bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle additiven Abbildungen f : Z → Z mit f(ab) = af(b) + f(a)b für alle a, b ∈ Z.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wo ich hier ansetzen soll.

Answer 1

Es ist \(f(1)=f(1\cdot 1)=1\cdot f(1)+f(1)\cdot 1=2f(1)\Rightarrow f(1)=0\).

Ferner ist \(0=f(1)=f((-1)(-1))=(-1)\cdot f(-1)+f(-1)\cdot (-1)=-2\cdot f(-1)\Rightarrow f(-1)=0\).

Wegen der Additivität von \(f\) gilt dann

\(f(n)=f(1+1+\cdots+1)=f(1)+f(1)+\cdots+f(1)=0+\cdots+0=0\).

Entsprechend \(f(-n)=0\). Da \(f\) ein additiver Homom. ist,

gilt natürlich auch \(f(0)=0\).

Die einzige Funktion, die die Bedingungen erfüllt,

ist also die Nullfunktion.