Erzeugte Unterguppen

Question

Aufgabe:

… Gegeben sei eine Gruppe G(ℝ\{0}, •). Sei M:={5} eine Teilmenge von G.

Bestimmen Sie H({5}) [Die von der Teilmenge {5} erzeugte Untergruppe von G).

Problem/Ansatz:

In der Vorlesung haben wir die erzeugte Untergruppe H(M) definiert als den Schnitt aller Untergruppen von G, die M enthalten.

In der Aufgabe wäre das demnach der Schnitt aller Untergruppen von G(ℝ\{0},•), die {5} enthalten.

Untergruppen sind z.B : A(ℤ\{0},•), B(ℚ\{0},•), mehr gibt es glaub ich nicht. Aber wenn ich jetzt A∩B berechne, kommt doch wieder ℤ\{0} raus. Das ergibt doch keinen Sinn? Wo ist mein Denkfehler?

Vielen Dank schonmal im Voraus

Answer 1

Eine Untergruppe U von G(ℝ\{0},•) die {5} als Teilmenge enthält,

hat also insbesondere die 5 als Element.

Also sind 5 und 1 ( jede Untergruppe enthält ja das neutrale El.)

jedenfalls in U. Außerdem enthält eine Untergruppe zu allen

ihren Elemente die Inversen, hier also 1/5.

Damit haben wir in der Gruppe jedenfalls 1 ; 5 und 1/5.

Diese bilden allerdings keine Menge, die gegenüber der

Multiplikation abgeschlossen ist; denn man muss ja

auch 5•5  und    5•5•5  etc. rechnen können.

Also hat man kurz: alle Potenzen von 5 ( mit ganzzahligen

Exponenten) als die von {5} erzeugte Untergruppe:

.., 5^(-2) ; 5^(-1) ; 1=5^0 ; 5 ; 5^2 ; ...

Comments

Perfekt! Danke ;)