erzeugte Untergruppe ermitteln

Question

Seien ( G₁ , ° ) und ( G₂ , * ) Gruppen . Auf der Menge G = G₁ x G₂ definieren wir nun eine Verknüpfung GxG -> G gegeben durch die Zuordnung ( (x₁ , x₂) , (y₁ , y₂) ) → ( x₁°y₁ , x₂*y₂ ) für alle x₁,y₁eG₁ und x₂,y₂eG₂

Im Fall ( G₁ , ° ) = ( G₂, *  ) = ( Z, + ) können Sie sich die Menge G = Z x Z als die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in der Ebene R x R vorstellen .

Geben Sie zu den folgenden beiden Teilmengen X⊆G die von X erzeugte Untergruppe ( X ) ( betrachtet als Teilmenge von G ) an .

( c ) X = { ( 1,1 ) }

( d ) X = { ( 3,0 ) , ( 0,2 ) }

Zuvor musste bewiesen werden, dass G eine Gruppe und abelsch ist, das hat noch funktioniert.

Jetzt komme ich allerdings bei c,d nicht weiter.

Ich dachte bei (c) zunächst an U={(1,1), (0,0), (-1,-1)} , jedoch ist U dann nicht abgeschlossen, da (1,1)+(1,1) -> (2,2) und das liegt nicht in U und deshalb hatte ich das verworfen.

Danke!

Answer 1

Zum Vergleich:

(c): \(<X>=\{(z,z): \; z \in \mathbb{Z}\}\).

(d): \(<X>=3\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}\)