Vollständige Induktion, rekursiv definierte Folge

Question

Aufgabe:

Wir definieren eine Folge von Zahlen x₁, x₂, x₃, ... rekursiv durch

x₁ := 1;

x₂:= 3;

x_n+1 =  4x_n - 3x_n-1      für n≥2.

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie mit Vollständiger Induktion, dass x_n = 3^n-1  für alle n∈ℕ gilt.

Bemerkung: Machen Sie klar erkenntlich, nach welcher Aussage A(n) Sie die Induktion durchführen.

Answer 1

Die musst Dir zunächst überlegen, was eigentlich die Behauptung ist, die Du beweisen willst. Dann sieht es so aus...

Comments

Warum ist denn n=3 der Induktionsanfang?

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wegen x₁ = 1 = 3⁰   und   x₂ = 3 = 3¹

gilt die Behauptung für alle x∈ℕ (für n≥3 nach dem Induktionsbeweis)

Der Beweisschritt von A(1) → A(2)  würde bei dem IB nicht funktionieren, weil man die Rekursionformel nicht anwenden kann.