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Aufgabe:

Über die Untervektorräume U, W ⊆ R10 ist nur bekannt, dass dim(U) = 7 und dim(W) = 4 ist.
a) Welche Werte für dim(U + W) sind möglich?
b) Geben Sie für jeden möglichen Wert von dim(U + W) ein Beispiel an, das diesen Wert realisiert.                                            c) Kann die Summe direkt sein?

Problem/Ansatz:

So, ich bin mir bei der Teilaufgabe b) nicht sicher! Bei a) habe ich die möglichen Werte dim(U+W)∈{7,8,9,10} (ich hoffe das ist richtig). Kann ich nun als Beispiel einfach einen Vektor aus Rn n∈{7,8,9,10} angeben oder ist hier etwas anderes gefordert.

Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Mit freundlichen Grüßen

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1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

 ein Vektor tut es sicher nicht, du brauchst eine Basis von U und eine von V  bzw. entsprechend viele Lin. unabhängige Vektoren darin. du kannst ja für U 7 der Standardbasisvektoren nehmen und V entsprechend anpassen für die 4 Fälle,

Gruß lul

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Erst einmal vielen Dank für deine Antwort.

Also für U die Basis aus e1,...,e7 wählen, das ist klar. Aber wie wähle ich die vier Vektoren für die Basis von W, so dass die Dimension des Schnitts von U und W = 1,2,3,4 ist. Da fallen mir gerade irgendwie keine Beispiele ein.

Oder kann ich bei zB.

dim(U∩W)=4, Basis von W=(e1,...,e4),

dim(U∩W)=3, Basis von W=(e1,e2,e3,(1,1,1,1,1,1,1)), ...

schreiben?

Hallo

 wie kommst du plötzlich auf den Schnitt statt der Summe?  wenn du die Basis des Schnitts willst ist dim = 4 richtig, dim=3 nicht 6 mal die 1 sondern 10 mal besser W={e1,e2,e3, e8}

lul

Naja kann sein, dass ich jetzt einen Denkfehler habe, aber da die Summe nicht direkt ist, ist dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U∩W) also gegeben sind ja, mit dim(U)=7 und dim(W)=4. Also muss man die Basen doch so wählen, dass der Schnitt der Basen gleich 1,2,3,4 ist.

Oder etwa nicht?

Hallo

 ja, kannst du so machen, daran hatte ich nicht gedacht.

Gruß lul

OK, aber nochmal VIELEN Dank für deine Hilfe!

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