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ich wollte fragen, ob jemand weiß, wie man die Lösung zu folgender Aufgabe erhält?


Aufgabe:

Für welche Werte von λ existieren nichttriviale Lösungen des Gleichungssystems? 
Bestimmen Sie diese Lösungen.


λx + y + 4z = 0

3x + 2y + 5z = 0

5x + (λ + 1)y + (4λ + 1)z = 0

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Ich fürchte, es gibt nur die triviale Lösung.

Ich fürchte

Warum fürchtest du dich ? - Ich bin doch bei dir.

Solltest du dich vor einer leeren Lösungsmenge fürchten - ich kann dich beruhigen, sie enthält z.B. das Element 2.

1 Antwort

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DET([k, 1, 4; 3, 2, 5; 5, k + 1, 4·k + 1]) = 0 --> k = 2 ∨ k = -1

Für Lambda = 2 oder Lamda = -1 sollte es nicht triviale Lösungen geben.

Schaffst du diese Lösungen auszurechnen?

für k = 2 --> x = - 3·z ∧ y = 2·z

für k = -1 --> x = 0.6·z ∧ y = - 3.4·z

Avatar von 477 k 🚀

Wie kommst du auf die Determinante?

Die Regel versteh ich. Aber nicht, wie du dann auf

DET([k, 1, 4; 3, 2, 5; 5, k + 1, 4·k + 1])

kommst....

DET([k, 1, 4; 3, 2, 5; 5, k + 1, 4·k + 1])

= k·2·(4·k + 1) + 1·5·5 + 4·3·(k + 1) - 5·2·4 - (k + 1)·5·k - (4·k + 1)·3·1

= (8·k^2 + 2·k) + (25) + (12·k + 12) - (40) - (5·k^2 + 5·k) - (12·k + 3)

= 3·k^2 - 3·k - 6

= 3·(k^2 - k - 2)

= 3·(k + 1)·(k - 2)

Immer noch unklar. Ich versteh nicht, wie du auf die Werte kommst

Das sind die Werte der Koeffizienten im Gleichungssystem

λx + 1y + 4z = 0
3x + 2y + 5z = 0
5x + (λ + 1)y + (4λ + 1)z = 0

Achso ok..... Ich merk grad, dass ich saudumm bin, und ausversehen das falsche Gleichungssystem hingeschreiben habe..... ups.....


Kannst du es mir eventuell für folgendes rechnen?:


λx1 + 3x2 + x3 = 0

(λ + 1)x1 − x3 = 0

(2λ − 1)x1 + 2x2 + 4x3 = 0

Das solltest du jetzt doch selber rechnen können oder

DET([k, 3, 1; k + 1, 0, -1; 2·k - 1, 2, 4]) = 0 --> k = -0.5

Eigentlich schon, aber bei dieser Aufgabe war ich halt überfordert. Aber danke

Das andere Gleichungssystem lässt sich doch exakt genauso rechnen wie das erste. Determinante bilden und Null setzen und nach k (Lambda) auflösen. Dann hat man schon die Werte für die es mehr als die Triviallösung geben kann.

Dann nur noch die Lösung angeben.

Letzteres müsstest du auch noch machen.

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