Nachweis potenzregel für ganzzahlige Exponenten mithilfe der Kettenregel

Question

Aufgabe: ES wurde bereits gezeigt, dass die Potenzfunktion f(x) x^n mit die Ableitung f (x) nx ^n-1 hat und dass diese Potenzregel auch für n = - 1 gilt. Zeigen Sie, dass die Potenzregel  für alle    n= z gilt. Gehen Sie wie folgt vor: (1) Für n < 0 lässt sich f auch schreiben als f(x) = x^n- x^-k =1/x^k mit k= -n>0.  (2) Wenden Sie auf f(x) = 1/x^k die Kettenregel an.

Problem/Ansatz: wir als Klasse kommen mit dieser Hausaufgabe gar nicht zurecht. Kann uns jemand weiter helfen :/ ?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo
so kann die da ja auch nicht stehen.
mit f(x) x^n meinst du wohl f(x)=x^n? entsprechend  mit  f(x)nx^n-1 f'(x)=n*x^n-1 ?
aber mit f(x) = x^n- x-k =1/x^k kann ich nicht mehr sehen, was du meinst?
aber auf 1/x^k kann man die Kettenregel anwenden, wenn man g(x)=x^k nimmt ist g'(x)=k*x^k-1 und f(x)=1/g(x). die Ableitung nach g kennt ihr schon  -1/g^2 . Mit Kettenregel  f'(x)=df/dg*dg/dx =-1/g^2*g'=-1/x^2k*(k*x^k-1)= -x^(k-1-2k)=-x^-k-1
Gruß lul