Basis und die Dimension bestimmen

Question

ich habe U1 und U2 gegeben mit

U1:= {λ(1  1  1  2) + µ(2  1  -1  0):λ,µ∈R}

U2:= {x  y  z  u}: x -y -z=0 und y+z-u=0}

Ich soll die Dimension von U1+U2 bestimmen und eine Basis.

Ich hätte jetzt eine Matrix gebildet um die Dimension rauszubekommen.

1  2  x

1  1  y

1  -1  z

2  0  u

Ich glaube aber der Ansatz ist falsch, da ich dann nichts gescheites rausbekomme. Kann mir da jemand einen besseren Ansatz nennen?

Answer 1

Hallo

hast du den eine Basis von U1 und eine von U2

 dann suche wieviel lin unabhängige Vektoren darin sind damit hast du dim und musst nur noch die lin unabhängigen raussuchen.

in U1 sind ja die 2 erzeugenden Vektoren schon ne Basis.

U2 ist auch 2d also musst du nur 2 lin unabhängige. Vektoren suchen die die 2 Gleichungen erfüllen.

Gruß lul

Comments

Also betrachte ich U1 und U2 erstmal einzelnd auf Basen. Und wenn ich jeweils eine habe beweise ich z.b. per Gauß, dass die beiden linear unabhängig sind. Habe ich das richtig verstanden?

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Hallo

 was du mit "die beiden" meinst ist unklar, die 2 Basisvektoren von einem UVR sind lin. unabhängig, wenn sie nicht vielfache voneinander sind. ob die 4 zusammen eine Basis von R^4 bilden kannst du mit Gauss machen.

lul

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Habe das nun mit Gauß gelöst:

1  1   1   2

2  1  -1   0

1 -1  -1   0

0   1   1   -1

und bin zu dem Ergebnis gekommen

1   1   1   2

0   -1  -3   -4

0   0     4    6

0    0    0    -2

das heißt die 4 Vektoren sind linear unabhängig, also dim (u)=4

Wäre das so in Ordnung. Und dann suche ich mir daraus einfach eine Basis, die aus 4 Vektoren besteht?

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Hallo

 ich sehe nicht, wie deine 2 Basisvektoren für U2 die Gleichungen

x -y -z=0 und y+z-u=0

(1,-1,-1-0) also x-y-z=1+1+1!=0

y+z-u=-1-1-0=-2!=0

ebenso dein zweiter?

lul

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Oh, ah ok...jetzt habe ich es glaube ich verstanden...das müsste ich jetzt per Gauß lösen?

1  1  1  2

2  1  -1  0

2  1   1   0

0  1   1   2

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Hab hier nochmal die Lösung die ich nun habe:

also mit gauß gelöst ergebe das

1   1   1   2

0   -1  -3   -4

0   0   2    0 

0   0   0    2

Das heißt die sind linear unabhängig und die dim(u) ist 4. Die Basis besteht also aus 4 Vektoren.

und eine mögliche Basis wär z.b.

1  1   1   2

0   -1  -3  4

0    0   2   0

0   0    0   -2

das hatte ich bei meinem zweiten Gauß Schritt z.B. raus

Wäre das so in Ordnung?

0

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Hallo

warum überprüfst du deine Vektoren nicht?

für (2,1,1,0) stimmt zwar x-y-z=0 aber y+z-u=1+1-0!=0

für (0,1,1,2) stimmt zwar y+z-u=0 aber x-y-z=0-1-1!=0

also weiterhin falsch

Gruß lul

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hm ok, dann müsste das ja einfach (2  1  1  2) sein für (x  y  z  u)?

oh man bin gerade echt durcheinander...