Dimension des Kerns einer Verknüpfung von Funktionen berechnen

Question

Ich komme mit Aufgabe b leider überhaupt nicht zurecht. Meine Idee war es zu zeigen, dass A nilpotent ist, und daraus entsprechende Schlüsse zu ziehen. Das Problem: Eigentlich hatten wir das noch gar nicht. Mir fällt aber leider nichts Besseres ein. Wie würdet ihr Aufgabe b lösen?

 Sei $V$ ein $n$- dimensionaler  -Vektorraum, sei $\underline{\mathrm{v}}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ eine Basis von $V$ und sei $f: V \rightarrow V$ ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix $A=M_{\bar{v}}^{\underline{v}}(f)$ habe die Form
$$\left(\begin{array}{cccccc} {0} & {1} & {1} & {\dots} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {\dots} & {1} & {1} \\ {\vdots} & {} & {} & {} & {} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {\dots} & {0} & {0} \end{array}\right)$$
(a) Berechnen Sie dim Kern ( $f)$
(b) Für $m \in \mathbb{N}$ setze $f^{m}=f \circ f \circ \ldots \circ f\left(m \text { mal). Berechnen Sie dim Kern }\left(f^{m}\right)\right.$

Answer 1

Offenbar ist Rang (A) = n-1 und also

dim Kern (f) = 1   und  es ist f(v1)=0, also  Kern (f) = <v1> .

Bei Aⁿ verkleinert sich das obere rechte Dreieck in der Matrix

Schritt für Schritt um 1.

Also nimmt die Dim des Kerns jeweils um 1 zu.

Comments

Aber wie beweist man das?

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vollst. Induktion ?