Wert einer Summe berechnen

Question

Berechnen Sie den Wert der folgenden Summe: 

\( \sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{ 4 · 9^{n+2}+7 · 4^{n-1} }{4 · 10^n} \)

Wie soll ich vorgehen? Und wie lautet der Lösungsweg?

Comments

Das Konvergenz vorliegt und damit ein endlicher Wert ist kein Problem. Aber für den Wert der Reihe habe ich keinen Ansatz :/.

-> wolfram-alpha fragen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_n%3D3^infty+%284*9^%28n%2B2%29%2B7*4^%28n-1%29%29%2F%284*10^%28n%29%29

Answer 1

Du kannst den Bruch in der Summe umschreiben und in zwei Summen aufteilen.

$$ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{4\cdot9^{n+2} + 7\cdot4^{n-1}}{4\cdot10^n} = \\ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{4\cdot9^n \cdot 9^2 + 7\cdot4^n \cdot 4^{-1}}{4\cdot10^n} = \\ \sum_{n=3}^{\infty}\frac{324\cdot9^n+ \frac{7}{4}\cdot4^n}{4\cdot10^n} = \\ \sum_{n=3}^{\infty}\left(81\cdot\frac{9^n}{10^n} + \frac{7}{16}\cdot \frac{4^n}{10^n}\right) = \\ \sum_{n=3}^{\infty}\left(81\cdot \left(\frac{9}{10}\right)^n + \frac{7}{16}\cdot \left(\frac{4}{10}\right)^n \right)= \\ \sum_{n=3}^{\infty}81 \left(\frac{9}{10}\right)^n + \sum_{n=3}^{\infty} \frac{7}{16} \left(\frac{4}{10}\right)^n \\ = 81\sum_{n=3}^{\infty} \left(\frac{9}{10}\right)^n + \frac{7}{16}\sum_{n=3}^{\infty}  \left(\frac{4}{10}\right)^n $$

Dann sollten zwei geometrische Reihen erkennbar sein.