Lineare Gleichungssysteme mit empirischen Punkten zu lösen mit "Normalgleichung" nach Gauß

Question

Aufgabe:

Gegeben sind folgende empirische Messungen:

Xi	9,7	11,9	13,4	15,0
Zi	11,09	12,39	12,78	13,68

Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem:

(auf der linken Achse steht "Z", hat es nur beim Foto abgeschnitten)

Text erkannt:

Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion z = a₀ + a₁*x und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalgleichung.

Wie lautet der Achsenabschnitt?

Problem/Ansatz:

Ich habe verstanden, dass ich die Aufgabe mit der Normalgleichung: X^T * X *a = X^T * Z lösen muss, jedoch komme ich beim Aufstellen der Matrizen und beim Ausrechnen von a nicht mehr weiter, darum bitte ich um Hilfe!
Wäre für jede Erklärung/Lösung dankbar!☺

Comments

Diese Aufgabe kommt in letzter Zeit öfters: siehe

https://www.mathelounge.de/suche?q=empirischen+Punkten+

wo sind Deine Problemstellen genau?

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Hab es jetzt schon geschafft, danke trotzdem!

Answer 1

Hallo

do wie du die Normalengleichung darstellst könnte ich es auch nicht.

siehe in wiki

https://de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate

dort findest du die nötigen Formeln , dann muss ich sie nicht abschreiben.

Gruß lul

Comments

Hab es schon geschafft, danke!

Answer 2

Jeder Punkt auf soll Näherungsweise durch eine Gerade angenähert werden. Das kann aber i.A. nicht exakt passieren, sondern es treten Fehler auf. Das Modell lautet also

$$\epsilon_i = a_0 + a_1 t_i - z_i$$ und die Summe der quadratischen Anpassungsfehler $\epsilon_i$ soll minimiert werden.

Man hat also ein Problem der folgenden Form zu lösen

$$\left \| \begin{pmatrix} 1 & t_1\\ \cdots & \cdots \\ 1 & t_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} z_1 \\ \cdots \\ z_n \end{pmatrix} \right \|_2 \to \text{ Minimieren }$$ oder in Matrixschreibweise $$\| A x - z \|_2 \to \text{ Minimieren }$$

Dabei gilt $$A = \begin{pmatrix} 1 & t_1\\ \cdots & \cdots \\ 1 & t_n \end{pmatrix}, \ \ x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} \text{ und } b = \begin{pmatrix} z_1 \\ \cdots \\ z_n \end{pmatrix}$$

Die Lösung für $x$ ist $$x = \left( A^T A \right)^{-1} A^T b$$

Jetzt muss man die Größen $t_i$ und $z_i$ bestimmen, also zu welchem Zeitpunkt ist welche Messung gemacht worden und alles einsetzen und ausrechnen.