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Liebe Mathe-Freaks,

ich komme bei dem Integral \(\int_0^\infty\frac{dx}{(1+\frac{1}{x})^2}\) nicht weiter.
Ich muss das bis Montag unbedingt haben, brauche noch Punkte aus den Übungen.
Hoffentlich kann mir jemand von euch helfen.

Vielen Dank schon mal vorne weg.

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Tipp: \(\displaystyle\int\frac2{\big(x+\frac1x\big)^2}\,\mathrm dx=\arctan x-\frac x{x^2+1}\).

Danke Spacko für den Hinweis. Hast du vielleicht auch eine Herleitung des Integrals für mich? Wir sollen das mit den "bekannten" Methoden" herleiten.

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Aloha :)
Ein ähnlich schwieriges Integral hast du gestern bereits nachgefragt. Auch dieses Integral hier lässt sich mit "Addition nach Substitution" lösen. Hattet ihr das als Methode in der Vorlesung? $$I:=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}$$Mit der Substitution$$x:=\frac{1}{y}\;\;;\;\;dx=-\frac{1}{y^2}\,dy\;\;;\;\;x(0)\to\infty\;\;;\;\;x(\infty)\to0$$erhalten wir:$$I=\int\limits_{\infty}^0\frac{-\frac{1}{y^2}\,dy}{\left(\frac{1}{y}+y\right)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{y}\,dy}{y\left(\frac{1}{y}+y\right)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{x}\,dx}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}$$Hinter dem ersten Gleichheitszeichen wurde die Substitution eingesetzt. Hinter dem zweiten Gleichheitszeichen wurde das Minuszeichen aus dem Zähler durch Vertauschung der Integrationsgrenzen kompensiert und ein Faktor \(1/y\) aus dem Zähler als Faktor \(y\) in den Nenner geschrieben. Hinter dem dritten Gleichheitszeichen wurde der Name der Variablen \(y\) in \(x\) geändert, was den Wert des Integrals nicht ändert. Wenn wir beide Darstellungen addieren, erhalten wir:$$2I=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{x}\,dx}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}$$Unter der Voraussetzung, dass das Integral \(I\) existiert, können wir die Integranden addieren.$$2I=\int\limits_0^\infty\left(\frac{1}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\frac{\frac{1}{x}}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}\right)dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^\infty\left(\frac{x}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\frac{\frac{1}{x}}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}\right)dx=\int\limits_0^\infty\frac{x+\frac{1}{x}}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^\infty\frac{1}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)}\,dx=\int\limits_0^\infty\frac{1}{x^2+1}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_0^\infty=\frac{\pi}{2}-0$$Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}=\frac{\pi}{4}$$

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Du kannst dieses Integral auch mittels Polynomdivision berechnen.

Zuerst formst Du um und erhältst:

∫ (x^2)/(x^2+2x+1) dx

nach der Polynomdivision bekommst Du:

=∫ (1 +1/((x+1)^2) -2/(x+1))dx

usw.

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