Integral 1/((x+1/x)2)dx von 0 bis unendlich

Question

Liebe Mathe-Freaks,

ich komme bei dem Integral $\int_0^\infty\frac{dx}{(1+\frac{1}{x})^2}$ nicht weiter.
Ich muss das bis Montag unbedingt haben, brauche noch Punkte aus den Übungen.
Hoffentlich kann mir jemand von euch helfen.

Vielen Dank schon mal vorne weg.

Comments

Tipp: $\displaystyle\int\frac2{\big(x+\frac1x\big)^2}\,\mathrm dx=\arctan x-\frac x{x^2+1}$.

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Danke Spacko für den Hinweis. Hast du vielleicht auch eine Herleitung des Integrals für mich? Wir sollen das mit den "bekannten" Methoden" herleiten.

Answer 1

Aloha :)
Ein ähnlich schwieriges Integral hast du gestern bereits nachgefragt. Auch dieses Integral hier lässt sich mit "Addition nach Substitution" lösen. Hattet ihr das als Methode in der Vorlesung? $$I:=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}$$Mit der Substitution$$x:=\frac{1}{y}\;\;;\;\;dx=-\frac{1}{y^2}\,dy\;\;;\;\;x(0)\to\infty\;\;;\;\;x(\infty)\to0$$erhalten wir:$$I=\int\limits_{\infty}^0\frac{-\frac{1}{y^2}\,dy}{\left(\frac{1}{y}+y\right)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{y}\,dy}{y\left(\frac{1}{y}+y\right)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{x}\,dx}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}$$Hinter dem ersten Gleichheitszeichen wurde die Substitution eingesetzt. Hinter dem zweiten Gleichheitszeichen wurde das Minuszeichen aus dem Zähler durch Vertauschung der Integrationsgrenzen kompensiert und ein Faktor $1/y$ aus dem Zähler als Faktor $y$ in den Nenner geschrieben. Hinter dem dritten Gleichheitszeichen wurde der Name der Variablen $y$ in $x$ geändert, was den Wert des Integrals nicht ändert. Wenn wir beide Darstellungen addieren, erhalten wir:$$2I=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\int\limits_0^\infty\frac{\frac{1}{x}\,dx}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}$$Unter der Voraussetzung, dass das Integral $I$ existiert, können wir die Integranden addieren.$$2I=\int\limits_0^\infty\left(\frac{1}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\frac{\frac{1}{x}}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}\right)dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^\infty\left(\frac{x}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}+\frac{\frac{1}{x}}{x\left(\frac{1}{x}+x\right)^2}\right)dx=\int\limits_0^\infty\frac{x+\frac{1}{x}}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}\,dx$$$$\phantom{2I}=\int\limits_0^\infty\frac{1}{x\left(x+\frac{1}{x}\right)}\,dx=\int\limits_0^\infty\frac{1}{x^2+1}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_0^\infty=\frac{\pi}{2}-0$$Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_0^\infty\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}=\frac{\pi}{4}$$

Answer 2

Du kannst dieses Integral auch mittels Polynomdivision berechnen.

Zuerst formst Du um und erhältst:

∫ (x²)/(x²+2x+1) dx

nach der Polynomdivision bekommst Du:

=∫ (1 +1/((x+1)²) -2/(x+1))dx

usw.