Eine Menge mit Verknüpfung

Question

Aufgabe:   Sei G eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung ◦, die folgende Axiome erfüllt:
(G1) Assoziativität: a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ∀a, b, c ∈ G.
(G2’) Es existiert ein linksneutrales Element, d.h. ein e ∈ G mit e ◦ a = a ∀a ∈ G.
(G3’) Existenz des Linksinversen, d.h. ∀a ∈ G ∃a^−1 ∈ G mit a^−1 ◦ a = e.
Zeigen Sie:
(a) Für a, b ∈ G gilt: Ist a ◦ b = e, dann ist auch b ◦ a = e.
(b) Es ist a ◦ e = a ∀a ∈ G.
(c) Das neutrale Element ist eindeutig.
(d) Die Inversen sind eindeutig.
(e) Für a, b ∈ G ist (ab)^−1 = b^−1a^−1
.
(f) Für a ∈ G ist (a^−1)^−1 = a.

Problem/Ansatz:

Wie würdet ihr diese Aufgabe angehen?

Comments

Wie würdet ihr diese Aufgabe angehen?

Hinsetzen, knobeln, probieren, verwerfen, neu versuchen
aber bestimmt nicht die Lösung von anderen aus einem Forum abschreiben.

Answer 1

(a) Für a, b ∈ G gilt: Ist a ◦ b = e, dann ist auch b ◦ a = e.

Bew: b ◦ a =e ◦ (b ◦ a)=( e◦ b )◦ a= ((a^-1 ◦ a)◦ b) ◦ a) =  ((a^-1 ◦( a◦ b) )◦ a)= (a^-1 ◦ e )◦ a = a^-1 ◦( e ◦ a)=a^-1 ◦ a =e  Linksneu  linksinv  Ass  Vorauss

b) Es ist a ◦ e = a ∀a ∈ G.

Bew: a ◦ e = a ◦ (a^-1 ◦ a)  = (a ◦ a^-1) ◦ a  =(a^-1 ◦ a) ◦ a   =e ◦ a =a                      wegen a)

(c) Das neutrale Element ist eindeutig.

Angenommen es gibt 2 verschieden e und e'. Dann e ◦ e'=e' linksneutr e, aber wegen b) auch e◦ e' =e rechtsneutr e', also e=e'

Rest analog

Comments

zu deinem a :
b ◦ a  =  ...  = b ◦ a ,  kommt mir vor, als hätte man das schon von Anfang an gewusst.

zu deinem b :
die Verwendung des unbewiesenen   a ◦ a^-1 = e  killt deinen Lösungsversuch.

Du bist also jetzt bei dem Schritt, den ich oben mit   "verwerfen"  bezeichnet habe.

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hab a) und b) gerade verworfen.

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und schon verbessert!