Kurve im ℝ^n, zu zeigen: Kurve beschreibt Gerade & es existiert φ, so dass f◦φ Spurgleichung von f ist

Question

Aufgabe:

Es seien p,q∈ℝⁿ beliebig und es sei f: [a,b]↦ℝⁿ eine (reguläre) Kurve mit f(a)=p und f(b)=q und Länge L(f).

I.) Zeigen Sie:
Gilt L=L_min:=||p-q||, so folgt Spur(f)∈[p,q] :={t*p+ (1−t)q|t∈[0,1]}.
Hinweis:Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für v,w∈ℝⁿ\{0} stets gilt ‖v+w‖=‖v‖+‖w‖ ⇔ ∃λ >0 :v=λw.

II.) Zeigen Sie nun:
Es gilt L=L_min genau dann, wenn es eine C¹-Parametertransformation φ: [1,0]→[a,b] gibt, so dass

f◦φ=f^#: [0,1]↦ℝⁿ,  t↦t*p+ (1−t)q.

Problem/Ansatz:

Ich habe bei der I.) keine Ahnung, wo ich ansetzen soll. Ansichtlich wird hier ja gesagt, dass man eine die Länge einer Geraden im ℝⁿ erhält, wenn man die minimale Länge einer Kurve (also die Distanz des Startpunktes vom Endpunkt) betrachtet, was mir leider trotzdem nicht relevant weiter hilft.

Bei der II.) habe ich folgendes: φ ist stetig und bijektiv und sowohl φ als auch φ^-1 sind stetig differenzierbar (Teil der Definition von C1-Parametertransformation). Weiter komme ich dann aber auch nicht.

Außerdem verstehe ich nicht, wo es wichtig ist, dass die Kurve regulär ist.