Minimale Oberfläche eine Zylinders

Question

Aufgabe:

In welchem Verhältnis d : h müssen bei einem Zylinder mit Kreis als Grundfläche der
Durchmesser d dieses Grundflächenkreises und die Höhe h des Zylinders stehen, damit
bei gegebenem Volumen V die Oberfläche A des Zylinders minimal wird?

Answer 1

Man kann V einen konkreten Wert geben dann wirds
einfacher. Der Wert ist egal. Ich nehme 1
Grundfläche : (d/2)^2 * pi
Volumenformel
V = 1 = (d/2)^2 * pi * h
Oberfläche
O =  2 * (d/2)^2 * pi + Umfang * h
O =  2 * (d/2)^2 * pi  +  d * pi * h

1 = (d/2)^2 * pi * h
d oder h nehmen und in der Oberflächenformel einsetzen
h = 1 / ( d^2/4 * pi )
O = 2 * d^2/4 * pi  +  d * pi  / ( d^2/4 * pi )
O ( d ) = d^2 *pi / 2  + 4/d
1.Ableitung
O´( d ) = pi * d - 4/d^2
Extremwert
pi * d - 4/d^2 = 0
pi * d = 4/d^2
d^3 = 4/pi
d = 1.0839
Einsetzen
h = 1 / ( d^2/4 * pi )
h = 1 / ( 1.0839^2/4 * pi )
h = 1.0838

d / h = 1.0839 / 1.0838

Bitte nachprüfen.