Wie zeige ich, dass die b-adische Entwicklung einer reellen Zahl periodisch ist?

Question

Aufgabe:

Die b-adische Entwicklung x=\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a^k}{b^k}} \), a_k∈ {0, ..., b-1} einer reellen Zahl x aus dem Intervall [0,1] heißt periodisch, falls k₀ ∈ℕ  und l ∈ℕ existieren, so dass für alle k≥k₀ gilt a_k+l = a_k .

Zeigen Sie, dass in diesem fall x rational ist.

Anleitung: Mit Hilfe der geometrischen Reihe zeige man die Darstellung

x=\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a^k}{b^k}} \)+\( \frac{b^l}{(b^l)-1} \) * \( \sum\limits_{k=k0}^{k0+l-1}{\frac{a^k}{b^k}} \)

k0= k₀ 

Ansatz :

Ich versteh die Anleitung nicht, also was soll ich jetzt wo einsetzten, dass es mir hilft und wo muss ich am Ende hin?

Comments

Ich hab meine Antwort um eine weitere Darstellung erweitert...

Answer 1

Ja, das glaub ich, weil Du sie falsch wiedergeben hast...

Lesen bildet ;-)

https://www.mathelounge.de/246571/beweisen-adischen-entwicklung-rational-geometrische-reihe

Ich entnehme Deinem Beitrag zum Link, dass nachgearbeitet werden muss.

Teilen wir die Summe an der (Nachkomma)Stelle K_0=5 in einen unregelmäßigen Part (K_0-1 Stellen) und einen periodischen Summenpart (K_0...oo) mit der Periode(nlänge) L=3 auf

\( \sum_{k=1}^{k_0 - 1}\frac{a_k}{b^{k}} + \sum_{k=k_0}^{∞}\frac{a_k}{b^{k}} \)

Z.B. sieht das für 5 Perioden aus wie

\(  \sum_{j=0}^{4}\sum_{k=K_0}^{K_0 + L - 1}\frac{a\left(k \right)}{b^{k + L \; j}} ⇒ oder ⇒  \sum_{k=K_0}^{K_0 + L - 1}\sum_{j=0}^{4}\frac{a\left(k \right)}{b^{k + L \; j}}   \)

ausgeschrieben

\(  \left(\begin{array}{rrr}\frac{a\left(5 \right)}{b^{5}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{6}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{7}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{8}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{9}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{10}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{11}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{12}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{13}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{14}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{15}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{16}}\\\frac{a\left(5 \right)}{b^{17}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{18}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{19}}\\\end{array}\right) ,⇒, \left(\begin{array}{rrrrr}\frac{a\left(5 \right)}{b^{5}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{8}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{11}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{14}}&\frac{a\left(5 \right)}{b^{17}}\\\frac{a\left(6 \right)}{b^{6}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{9}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{12}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{15}}&\frac{a\left(6 \right)}{b^{18}}\\\frac{a\left(7 \right)}{b^{7}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{10}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{13}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{16}}&\frac{a\left(7 \right)}{b^{19}}\\\end{array}\right)  \)

Links die Anordnung aufeinander folgender Stellen a(k) oder rechts die Anordnung gleicher Stellen a(k) mit aufeinander folgenden Potenzen b^k. Zur weiteren Betrachtung nehmen wir die Anordnung der rechten Seite mit unendlich vielen Periodenfolgen - Die Unendlich-Summe wird als geometrische Reihe berechnet:

\(\sum_{k=k_0}^{k_0 + \ell - 1}\sum_{j=0}^{∞}\frac{a\left(k \right)}{b^{k + \ell \; j}} = \sum_{k=k_0}^{k_0 + \ell - 1}b^{-k + \ell} \cdot \frac{a\left(k \right)}{b^{\ell} - 1}\)

und zusammengefasst erhalten wir

\(\frac{b^{\ell}}{b^{\ell} - 1} \; \sum_{k=k_0}^{k_0 + \ell - 1}\frac{a\left(k \right)}{b^{k}}\)

eine endliche Summe von Brüchen.

Beim Addieren von Brüchen erhält man wieder einen Bruch, eine rationale Zahl

q.e.d.