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Sei x ∈ N.
(a) Finden Sie eine Summenformel für 1 + x + x2 + ... + xn-1
, indem Sie die Anzahl Folgen
(x1,..., xn) mit x1,..., xn ∈ {1,..., x}, sodass nicht alle Folgenglieder gleich x sind, auf zwei
Arten abzählen.
(b) Beweisen Sie Ihre Formel aus (a) mit einem direkten Beweis.

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Sollte das -1 am Ende nicht auch im Exponenten stehen?

ja sorry moment

verzweifel an dieser Aufagbe

Die zweite Art, die Anzahl der Folgen abzuzählen könnte so gehen :

Zähle zuerst diejenigen Folgen mit x_1 ≠ x ,
dann diejenigen mit  x_1 = x  und  x_2 ≠ x ,
dann diejenigen mit  x_1 = x  und  x_2 = x  und  x_3 ≠ x ,
dann diejenigen mit  x_1 = x  und  x_2 = x  und  x_3 = x  und  x_4 ≠ x
u.s.w.

1 Antwort

+1 Daumen

Sie S=1+x++xn1 S = 1 + x + \cdots + x^{n-1} dann ist xS=x+x2+xn1+xn x S = x + x^2 + \cdots x^{n-1} + x^n

Daraus folgt SxS=1xn S - xS = 1 - x^n also S=i=0n1xi=1xn1x S = \sum_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{1-x^n}{1-x}

Avatar von 39 k

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