Wir sollten Eluna nicht verwirren. Deswegen nochmal kurz zur Klarstellung. Das Vollständigkeitsaxiom sagt in seiner Kernidee aus, dass die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) vollständig, also "ohne Lücken" sind. Man kann das Vollständigkeitsaxiom aus den Körperaxiomen und den Anordnungsaxiomen nicht beweisen. Diese Axiome gelten z.B. auch für die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\). Wenn man so will unterscheidet das Vollständigkeitsaxiom die rellen von den rationalen Zahlen. Es gibt aber meiner Kenntnis nach 6 äquivalente Formulierungen des Vollständigkeitsaxioms. Wenn man eine vorassetzt, kann man daraus die anderen 5 folgern, aber eben eine muss man voraussetzen.
1) Jede Cauchy-Folge in den reellen Zahlen konvergiert.
2) Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge (Bolzano-Weierstraß).
3) Jeder Dedekind'sche Schnitt hat genau einen Trennungspunkt.
4) Zu jeder Intervallschachtelung gibt es genau einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.
5) Jede beschränkte Teilfolge enthält einen monotone Teilfolge, die ebenfalls beschränkt ist.
6) Jede beschränkte Folge besitzt ein Supremum.
