Integralrechnung, bestimmen Sie den orientierten Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den orientierten Flächeninhalt für die gefärbten Flächen.

h(x)= 0,5 x(x² - 2,25) (x² - 4)

Problem:

Wie gehe ich hier vor? Ich rechne den Term aus, rechne die Nullstellen mit PQ-Formel aus....aber wie rechne ich dann weiter?  Wie rechne ich dann weiter mit der "Integralformel"?

Comments

Kannst Du ein bestimmtes Integral ausrechnen?

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Nein, das hatten wir noch nicht. Wir hatten zu dem Thema bis jetzt Stammfunktion berechnen und den Flächeninhalt einer Funktion berechnen. Diese Aufgabe haben wir jetzt als Hausaufgabe bekommen.

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Was bezeichnet ihr als "orientierten" Flächeninhalt?

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so wie hier?

https://www.mathelounge.de/421292/orientierter-und-absoluter-flachennhalt

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Auf die Bedeutung von ,,orientiert'' sind wir leider nicht eingegangen.

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Das siehst du nun mit dem angegebenen Link.

Mal eine ganz andere Frage: Wie heisst dieses Lehrmittel? Oder ist es ein Arbeitsblatt von eurem Mathelehrer selber gemacht?

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Die Aufgabe ist aus dem Mathebuch: ,,Lambacher Schweizer, Qualifikationsphase''.

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Ok. Darum heisst es ja dann wohl

"den orientierten Flächeninhalt für die gefärbten Flächen."

Das hatte ich übersehen. Man muss somit 4 solche vorzeichenbehaftete Flächeninhalte bestimmen.

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Ich denke nicht, dass man die Flächen einzeln bestimmen muss. Gefragt wird nach dem Flächeninhalt, nicht nach den Flächeninhalten. Die Anforderung "orientiert" würde sonst auch keinen Sinn machen.

Nach dem Lehrmittel fragte ich, weil die Grafik falsch ist. Oder der Funktionsgleichung ein negatives Vorzeichen fehlt. Jemand sollte das den Autoren mitteilen.

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Das kann sein. Wir hatten schon einmal das Problem, dass ein Vorzeichen falsch war.

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Falls du im Buch (Umschlag oder so) eine Adresse findest, kannst du das, was döschwo bemängelt hat, dort melden. Die sind dankbar, wenn sie vor einem Nachdruck diesen Fehler beheben können.

Wenn sie die Grafik nicht ändern wollen, können sie schlicht folgendes h(x) benutzen.

c) h(x)= 0,5 x(x^{2} - 2,25) (4 - x^{2})

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Das kann nicht nur sein, das ist sogar. Schau mal was mit y passiert wenn x gross wird: Alle vier Faktoren sind positiv, und drei der vier wachsen. Die Grafik muss rechts also nach oben gehen, nicht nach unten.

Answer 1

Ein Blick auf die Grafik lässt vermuten, dass die Nullstellen bei -2 und 2 sind. Diese Werte in die Funktion h eingesetzt, zeigt dass die Vermutung richtig war.

Du integrierst also h von x = -2 bis x = 2.

Comments

Aber es gibt doch noch weitere Nullstellen, oder? 1,5 und - 1,5 ?

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Ja. Die Wurzel aus 2.25 ist 1.5.

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Richtig. Es gibt auch eine bei Null. Die orientierte Fläche (siehe Weblink weiter oben) ist das oberhalb der x-Achse minus das unterhalb der x-Achse. Beim Integrieren wird das automatisch berücksichtigt.

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Da steht Flächen . Also Plural. D.h. man berechnet 4 Flächenstücke und hat bei zwei von den Resultaten dann eine negative Zahl.

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Es sind ja auch mehrere Flächen, für die der orientierte Flächeninhalt (Singular) gesucht wird.

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Jede der Flächen (Also jedes gefärbte Flächenstück) hat einen orientierten Flächeninhalt ;)

Am besten schaut man wohl bei den erwarteten Resultaten, wenn man sicher sein will, was die Autoren gedacht haben. Auch sollte man die ganze Fragestellung zur Aufgabe als Bild sehen.

Answer 2

Hallo,

da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist der orientierte Flächeninhalt = 0.

Beim orientierten Flächeninhalt werden die oberhalb der x-Achse liegenden Flächen positiv und die unterhalb liegenden negativ gezählt.

Gruß, Silvia

Comments

Das stimmt, wenn nur eine "orientierte" Fläche je Teilaufgabe gemeint ist.

Flächen kommt hier aber in der Frage im Plural vor. Zudem haben die verschiedenen Flächen(stücke) unterschiedliche Farben.

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Lambacher und Schweizer können wir nicht mehr fragen. Die sind beide tot.

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Doch. Man schreibt sonst niemals Fläche = Negative Zahl.

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"Orientierter Flächeninhalt" wird in dem Buch im Zusammenhang mit der Gesamtänderung z.B. eines Wasservolumens in einem bestimmten Intervall beschrieben.

Answer 3

Bei dieser Frage gingen aber viele Personnen
massiv Irrwege.
Fehler im Buch : anstelle
f (x) = 0.5 *x*(x^2 - 2.25)* (x^2 - 4)
muß es heißen
f  (x ) = 0.5 *x*(x^2 - 2.25)* (4-x^2)
dann stimmt die Grafik

@2CV
Kannst Du ein uneigentliches Integral ausrechnen?
Warum sollte der Fragesteller dasselbige ausrechnen
können.. Es wird bei dieser Aufgabe nicht benötigt.
@Fragesteller
ich rechne die Nullstellen mit der PQ-Formel aus
Das Ausrechnen mit pq ist nicht notwendig.
Es genügt den Satz vom Nullprodukt anzuwenden
f  (x ) = 0.5 *x*(x^2 - 2.25)* (4-x^2)
x = 0
x = -1.5
x = 1,5
x = -2
x = 2
geordnet
x = -2
x = -1.5
x = 0
x = 1.5
x = 2
Zur Bildung der Stamfunktion ist es lohnenswert
die Funktionsgleichung auszumultiplizieren
f ( x ) = - 0.5 * x^5 + 3.125 * x^3 - 4.5 *x
S ( x ) = -0.5 * x^6 / 6  +  3.125 * x^4 / 4 - 4.5 * x^2 / 2
Die Funktion f ( x ) hat nur ungerade Potenzen
und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung.
Zur Flächenberechnung genügt es nur 2 Flächen
zu berechnen
[ S ( x ) ]  x zwischen 0 und 1.5  und
[ S ( x ) ]  x zwischen 1.5 und 2
Die insgesamt 4 Flächen vorzeichenbehaftet angeben

Beim Integral zwischen -2 und 2 käme
null heraus, was relativ witzlos wäre.

Bin gern weiter behilflich.

Tip des Tages
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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