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Aufgabe:

Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \( f(a)<0<f(b) . \) Zeigen Sie: Es gibt ein \( x_{0} \in[a, b] \) mit \( f\left(x_{0}\right)=0 \).

Anleitung: Definieren Sie induktiv eine Folge \( \left[a_{n}, b_{n}\right] \subset[a, b] \) von Intervallen durch
$$ \begin{aligned} \left[a_{1}, b_{1}\right] &=[a, b] \\ \left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] &=\left\{\begin{array}{ll} {\left[a_{n}, m_{n}\right],} & {\text { falls } f\left(m_{n}\right) \geq 0} \\ {\left[m_{n}, b_{n}\right],} & {\text { falls } f\left(m_{n}\right)<0} \end{array}\right. \end{aligned} $$
wobei \( m_{n}:=\dfrac{a_{n}+b_{n}}{2} \) und \( n \in \mathbb{N} . \)

Zeigen Sie dann, dass es ein \( x_{0} \in[a, b] \) gibt mit \( a_{n} \rightarrow x_{0} \text { und } b_{n} \rightarrow x_{0} \) für \( n \rightarrow \infty \) sowie \( f\left(x_{0}\right)=0 \).


Problem:
Ich weiß zwar wie ich vorgehen soll. Bin mir aber was die bearbeitung an sich angeht sehr unsicher. Ich weiß nicht, wie genau ich das zeigen soll und wie ich da weiter vorgehen muss.

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Gezeigt werden soll offenbar der Nullstellensatz von Bolzano, der äquivalent zum Zwischenwertsatz ist. Die Definition der in der Anleitung erwähnten Folge von Intervallen ist bereits in der Anleitung enthalten, soll also wohl übernommen werden. Die beiden Folgen \(a_n\) und \(b_n\) sind entsprechend ihrer Konstruktion jeweils monoton und beschränkt und es bleibt zu zeigen, dass sie gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergieren.

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