K Vektorräume, lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Es seien V und V' zwei K-Vektorräume und sei f : V -> V' eine lineare Abbildung. Beweisen Sie:

i) f(0) = 0
ii) ∀v ∈V gilt f(-v) = -f(v)
iii) ∀v, w ∈V gilt f(v - w) = f(v) - f(w)

Problem/Ansatz:

um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht was gemeint ist, weil doch i, ii, iii Bedingungen sind für eine lineare Abbildung... oder sehen ich das falsch...

Wie muss ich das beweisen?

danke im Vorraus :)

Comments

Bist du sicher, dass du die Aufgabenstellung korrekt abgeschrieben hast? Ja du hast recht, alle linearen Abbildung zwischen Vektorräumen haben diese Eigenschaft.

Geht es vielleicht darum zu zeigen, dass die kanonische Abbildung \(f(v)=v^*\), die jeden Vektor auf ihren Covektor schickt, diese Eigenschaften erfüllt?

---

doch die Aufgabe ist genau diese, und ich weiß nicht was gewollt ist, vielleicht hat jemand eine Idee

Answer 1

Bedingungen sind für eine lineare Abbildung...

f(v+w) = f(v) + f(w)   und  f(x*v) = x*f(v) für alle v,w aus V und x aus K.

Um zu zeigen  f(0) = 0 Kannst du betrachten:

f(0) = f(0+0)  und wegen Linearität

      = f(0) + f(0)

Also hast du  f(0) = f(0) + f(0)  und im Vektorraum V1 existiert ja das Inverse von f(0),

das kannst du auf beiden Seiten addieren und bekommst:

                    f(0) + (-f(0))  =  f(0) +    f(0) + (-f(0))

         <=>                            0  =  f(0)  +  0

          <=>                              0 = f(0) .

∀v ∈V gilt f(-v) = -f(v)
Dazu musst du die Eigenschaft von  -f(v) genau deuten: Das ist das

Inverse von f(v), und behauptet wird:  Das ist das Bild von -v , also f(-v).

Also musst du zeigen    f(v) + f(-v) = 0   wieder wegen Linearität

<=>                           f(v+ (-v) ) = 0

<=>                            f(0) = 0    und das wurde ja grad gezeigt.

Für iii bedenke   v-w = v + (-w)  und verwende Linearität und ii.

Comments

Kurze Frage,

hätte man bei ii) auch so vorgehen können ?:

Sei v aus V bel. Dann ist f(-v) = f( (-1) * v) = -1 * f(v) (wegen Linearität) = -f(v).

Wäre das okay so, oder muss man mit dem inversen argumentieren ?

Und bei iii) habe ich nicht verstanden was du mit v-w meinst.

Soll man einfach zwei beliebige Vektoren v und w aus V betrachten und dann das v mit dem inversen von w addieren ? Wenn ja, was folgt dann daraus ?

Wäre für eine Antwort sehr dankbar.

---

Deine Lösung zu ii) ist auch OK.

iii) "das v mit dem inversen von w addieren"  das ist ja gerade v-w.

Also f(v-w) = f(v + (-w) ) = (linearität)

     = f(v) + f(-w) = f(v) + ( -f(w)) = f(v) - f(w)

---

Oh da hatte ich was falsch verstanden, danke dir