Aufgabe:
limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim 1/n3 ∑i=1ni(i+1) \sum\limits_{i=1}^{n}{i(i+1)} i=1∑ni(i+1)
Hallo,
es gilt:∑i=1ni(i+1)=∑i=1ni2+i=∑i=1ni2+∑i=1ni=13n(n+1)(n+2)\sum_{i=1}^{n}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n}{i^2+i}=\sum_{i=1}^{n}i^2 +\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)i=1∑ni(i+1)=i=1∑ni2+i=i=1∑ni2+i=1∑ni=31n(n+1)(n+2) also:limn→∞1n313n(n+1)(n+2)=limn→∞(n+1)(n+2)3n2=13\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{3n^2}=\frac{1}{3}n→∞limn3131n(n+1)(n+2)=n→∞lim3n2(n+1)(n+2)=31
Danke erst mal für die schnelle Antwort.
Ein Zwischenschritt hab ich aber nicht verstanden. und zwar wie bist du auf 1/3n(n+1)(n+2) gekommen ?
Gruß
das sind bekannte Summenformeln für Quadratzahlen und die Gaußsche Summenformel.
https://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle02/summen3.ht…
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
Zuerst den Term hinter lim vereinfachen: n(2n+1)(n+1)6n3 \frac{n(2n+1)(n+1)}{6n^3} 6n3n(2n+1)(n+1) +n(n+1)2n3 \frac{n(n+1)}{2n^3} 2n3n(n+1) und weiter 13 \frac{1}{3} 31 +12n \frac{1}{2n} 2n1 +16n2 \frac{1}{6n^2} 6n21 +12n \frac{1}{2n} 2n1 +1n2 \frac{1}{n^2} n21 .Für n→∞ gehen alle Summanden außer 13 \frac{1}{3} 31 gegen 0.
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