0 Daumen
466 Aufrufe

Aufgabe:


limn \lim\limits_{n\to\infty} 1/n3  i=1ni(i+1) \sum\limits_{i=1}^{n}{i(i+1)}    

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

es gilt:i=1ni(i+1)=i=1ni2+i=i=1ni2+i=1ni=13n(n+1)(n+2)\sum_{i=1}^{n}{i(i+1)}=\sum_{i=1}^{n}{i^2+i}=\sum_{i=1}^{n}i^2 +\sum_{i=1}^{n}i=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) also:limn1n313n(n+1)(n+2)=limn(n+1)(n+2)3n2=13\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{3n^2}=\frac{1}{3}

Avatar von 28 k

Hallo,

Danke erst mal für die schnelle Antwort.

Ein Zwischenschritt hab ich aber nicht verstanden. und zwar wie bist du auf 1/3n(n+1)(n+2) gekommen ?


Gruß

Hallo,

das sind bekannte Summenformeln für Quadratzahlen und die Gaußsche Summenformel.

https://www.math.uni-bielefeld.de/~ringel/puzzle/puzzle02/summen3.ht…

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

+1 Daumen

Zuerst den Term hinter lim vereinfachen: n(2n+1)(n+1)6n3 \frac{n(2n+1)(n+1)}{6n^3} +n(n+1)2n3 \frac{n(n+1)}{2n^3} und weiter 13 \frac{1}{3} +12n \frac{1}{2n} +16n2 \frac{1}{6n^2} +12n \frac{1}{2n} +1n2 \frac{1}{n^2} .Für n→∞ gehen alle Summanden außer 13 \frac{1}{3} gegen 0.

Avatar von 124 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
2 Antworten
0 Daumen
2 Antworten
0 Daumen
1 Antwort