Verteilungsfunktion αβx^(β−1) e ^(−αx^β)

Question

Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Aufgabe:

Berechne die Verteilungsfunktion zu folgender Dichtefunktion

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\alpha \beta x^{\beta-1} e^{-\alpha x^{\beta}},} & {x \geq 0} \\ {0,} & {x<0}\end{array}\right. \)

a, b>0

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Verteilungsfunktion erhalte, indem ich die Dichtefunktion ableite, aber da erhalte ich für x>0 F(x)=-e^(-ax^b). Aber diese Funktion ist ja negativ und kann daher keine Verteilungsfunktion sein.

Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt.

Vielen Dank im voraus.

Comments

Edit: Es handelt sich bei F(x) =-e^(-axb)

um die integrierte Funktion, nicht um die Ableitung. Tut mir leid wegen der falschen Angabe.

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Mache die Transformation \( z = s^\beta \) dann folgt

$$ \int_0^x \alpha \beta s^{\beta - 1} e^{-\alpha s^\beta } ds = \alpha \int_0^{x^\beta} e^{-\alpha z} dz = 1 - e^{-\alpha x^\beta} $$

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Vielen Dank.

Answer 1

Das ist nicht richtig. Die Ableitung der Verteilungsfunktion ergibt die Dichte. Wenn Du aus der Dichte die Verteilungsfunktion berechnen willst, musst Du die Dichte integrieren.

Comments

Oh mist, ich habe mich oben verschrieben. Danke für den Hinweis. Allerdings ist das die integrierte Funktion. Ich habe es nur falsch aufgeschrieben.