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Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Aufgabe:

Berechne die Verteilungsfunktion zu folgender Dichtefunktion

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\alpha \beta x^{\beta-1} e^{-\alpha x^{\beta}},} & {x \geq 0} \\ {0,} & {x<0}\end{array}\right. \)

a, b>0


Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Verteilungsfunktion erhalte, indem ich die Dichtefunktion ableite, aber da erhalte ich für x>0 F(x)=-e^(-ax^b). Aber diese Funktion ist ja negativ und kann daher keine Verteilungsfunktion sein.

Vielleicht kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt.

Vielen Dank im voraus.

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Edit: Es handelt sich bei F(x) =-e^(-axb)

um die integrierte Funktion, nicht um die Ableitung. Tut mir leid wegen der falschen Angabe.

Mache die Transformation \( z = s^\beta \) dann folgt

$$ \int_0^x \alpha \beta s^{\beta - 1} e^{-\alpha s^\beta } ds = \alpha \int_0^{x^\beta} e^{-\alpha z} dz = 1 - e^{-\alpha x^\beta} $$

Vielen Dank.

1 Antwort

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Das ist nicht richtig. Die Ableitung der Verteilungsfunktion ergibt die Dichte. Wenn Du aus der Dichte die Verteilungsfunktion berechnen willst, musst Du die Dichte integrieren.

Avatar von 39 k

Oh mist, ich habe mich oben verschrieben. Danke für den Hinweis. Allerdings ist das die integrierte Funktion. Ich habe es nur falsch aufgeschrieben.

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