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Aufgabe:

Bei einem Würfelspiel mit zwei fairen Würfeln, die unabhängig voneinander gleichzeitig geworfen werden, wird das Zehnfache des Maximums der Augenzahlen in Cents ausbezahlt, wobei der Einsatz 50 Cent beträgt. Es bezeichne \( X \) die Zufallsvariable, welche den Reingewinn in Cent beschreibt. Berechnen Sie den Erwartungswert von \( X \).


Problem/Ansatz:

Was ist mit dem Maximum der Augenzahlen gemeint? z.B.: wenn ich einen 1er und einen 2er würfle, dass es dann 21 ist? Also dass ich dann 66, 65, 64, 63, 62, 61, 55, 54, 53, 52, 51, 44, 43, 42, 41, 33, 32, 31, 22, 21, 11 als Ausgänge hätte?

von

MAX(Augen) = höchste gewürfelte Augenzahl?

also die Summe? 2 - 12?

oder wenn eine 2 und eine 1 gewürfelt ist, das Max einfach nur die 2 ist?

Ja, sonst wäre das Spiel ruinös für die Bank, oder?

1 Antwort

+2 Daumen

Aloha :)

Die folgende Tabelle zeigt die Auszahlungsbeträge ohne die erforderlichen Einsätze:


1
2
3
4
5
6
1
10
20
30
40
50
60
2
20
20
30
40
50
60
3
30
30
30
40
50
60
4
40
40
40
40
50
60
5
50
50
50
50
50
60
6
60
60
60
60
60
60

Wir zählen:

1 Fall mit 10 Cent Auszuahlung

3 Fälle mit 20 Cent Auszuahlung

5 Fälle mit 30 Cent Auszuahlung

7 Fälle mit 40 Cent Auszuahlung

9 Fälle mit 50 Cent Auszuahlung

11 Fälle mit 60 Cent Auszuahlung

Beim Reingewinn \(X\) müssen wir jeweils die 50 Cent Einsatz subtrahieren:

1 Fall mit -40 Cent Gewinn

3 Fälle mit -30 Cent Gewinn

5 Fälle mit -20 Cent Gewinn

7 Fälle mit -10 Cent Gewinn

9 Fälle mit 0 Cent Gewinn

11 Fälle mit 10 Cent Gewinn

Der Erwartungswert für den Gewinn ist daher:

$$\left<X\right>=\frac{1\cdot(-40)+3\cdot(-30)+5\cdot(-20)+7\cdot(-10)+9\cdot0+11\cdot10}{36}$$$$\phantom{\left<X\right>}=-\frac{190}{36}=-5\frac{10}{36}\approx-5,28\,ct.$$

von 118 k 🚀

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