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Aufgabe:

Gegeben ist \(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\pi}x-2 \quad \text{ für } 2\pi\leq x < 3\pi \\ 4-\frac{1}{\pi}x \quad \text{ für } 3\pi \leq x < 4\pi\end{cases}\), \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)

und \(f(x+2\pi)=f(x)\) für alle \(x\) aus den rellen Zahlen. Wie entwickle ich diese Funktion jetzt in eine Fourierreihe?


Problem/Ansatz:

Die Funktion ist ja eine Dreiecksfunktion, die sich alle \(2\pi\) wiederholt. Ich habe also \(T=2\pi\)

\(a_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot \cos(k\cdot x)dx \), \(k=0,1,2,3,\dots\)

\(b_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot \sin(k\cdot x) dx\), \(k=1,2,3,\dots\)

und

\(F_n(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(a_k\cos(k\cdot x)+b_k\cdot \sin(k\cdot x)\right)\) ist dann das Taylorpolynom und die Taylorreihe

\(F_\infty(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(k\cdot x)+b_k\cdot \sin(k\cdot x))\)


Da die Funktion periodisch ist, habe ich die Integralgrenzen auf \(2\pi\) bis \(4\pi\) verschoben. (Ist das legitim?) Danach habe ich die Integrale für die a_ks und b_ks ausgerechnet, mit \(k\) variabel. Außer bei a_0, dort habe ich eine extra Fallunterscheidung gemacht, weil wir nicht durch Null teilen dürfen.

\(a_k=\frac{1}{\pi}\left(\displaystyle\int\limits_{2\pi}^{3\pi}\frac{1}{\pi}x-2\cdot \cos(kx)dx+\int\limits_{3\pi}^{4\pi}4-\frac{1}{\pi}x\cdot \cos(kx)dx\right)\)

\(a_k=\dfrac{2\sin(2\pi k)+\sin(3\pi k)-4\sin(4\pi k)}{\pi k}+\dfrac{13}{2}\) für \(k>0\)

\(a_0=1\)

(Das sind die finalen Werte der \(a_k\), ich habe hier die ganzen Integralrechnungen ausgelassen, weil das sonst ewig dauert zum Abtippen.)

b_k ist analog dann auch aufgeteilt wie a_k, nur dass dann natürlich die andere Funktion im Integral steht * sin. Das habe ich dann auch ausgerechnet und bekomme

\(b_k=\dfrac{\sin(3\pi k)-\sin(4\pi k)}{\pi^2k^2}+\dfrac{-2\cos(2\pi k)-\cos(3\pi k)+4\cos(4\pi k)}{\pi k}+\dfrac{13}{2}\)

und demnach ist das Taylorpolynom:

\(F_n(x)=\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{n}(a_k\cdot \cos(kx)+b_k\cdot \sin(kx))dx\)

und die Reihe

\(F_\infty(x)=\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_k\cdot \cos(kx)+b_k\cdot \sin(kx))dx\),

aber das sind leider sehr komische Werte und ich denke mal, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht. Könnt ihr mir sagen wo und wie es richtig aussehen würde?

von

Weil die Funktion 2π-periodisch ist, kannst du doch erst mal die Definition in den üblichen Bereich übersetzen und dann "normal" rechnen.

Was meinst du genau mit "in den normalen Bereich übersetzen"? Dass ich die Funktion im Bereich \(-\pi\) bis \(\pi\) definiere? Das wäre dann \(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\pi}x-2 \quad -\pi \leq x <0\\ 4-\frac{1}{\pi}x \quad 0\leq x <\pi \end{cases}\)

Ja. Genau. Ich hätte jetzt so angefangen.

Müsste die Fourierreihe hierfür nicht automatisch auch für f passen?

@Dreiecksfunktion

Wie meinst du das? Bei x = 0, x=π, x= 3π usw. springt sie von 2 auf 4.

Als ich mir eine Skizze von der Funktion gemacht hatte, sah die so aus:

geogebra-export (2).png

Deswegen nannte ich sie Dreiecksfunktion xD

Ups. Stimmt. Man muss bei der Anpassung an das Intervall (-pi,pi) die "Zackenhöhe" verwenden. Nicht einfach 2 und 4.

Hast du die "Zackenhöhe"?

Wohl

f(x) := x/π + 1 für x in (-pi, 0)

und

f(x):= 1 - x/π für x in (0,pi)

Sollten aus Symmetriegründen nicht alle bk = 0 sein?

Ja genau, die \(b_k\) müssten 0 sein, ist mir auch erst nach dem Verfassen der Nachricht aufgefallen.

Gut. a0 könnte stimmen. Dann "einfach" noch die andern ak ausrechnen.

Ne, leider stimmen die nicht. Hatte die Klammern um \(f(x)\) vergessen. Aber jetzt habe ich den Fehler gefunden!

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