0 Daumen
50 Aufrufe

Aufgabe:

Sei \(a_{k}\)∈ℂ, \(k\)∈ℤ gegeben mit

\(\sum_{-\infty}^\infty (1+|k|)|a_{k}|<\infty\)

Man soll nun zeigen, dass durch

\(f(x):=\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}\) für \(x\)∈ℝ

eine \(2\pi\)-periodische stetig differenzierbare Funktion definiert wird. Es gelte außerdem

\(f'(x)=\sum_{-\infty}^\infty ika_{k}e^{ikx}\) für \(x\)∈ℝ


Problem/Ansatz:

ich hatte ehrlich gesagt nicht wirklich eine Idee. Ich habe jetzt gesagt, dass

\(\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}=\sum_{-\infty}^\infty a_{k}[cos(kx)+isin(kx)]\leq \sum_{-\infty}^\infty |a_{k}||cos(kx)+isin(kx)|=\sum_{-\infty}^\infty |a_{k}|\leq \sum_{-\infty}^\infty (1+|k|)|a_{k}|<\infty\)

und somit \(\sum_{-\infty}^\infty a_{k}e^{ikx}\)

gleichmäßig gegen f(x) konvergiert und f(x) somit stetig ist.

Daraus folgt dann \(a_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-ikx}dx\)

Sind diese Schritte überhaupt sinnvoll und wie mache ich dann weiter?

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community