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Hey Leute,

bitte um Hilfe:

Aufgabe ist, die folgenden Relationen zu untersuchen, ob es sich um Äquivalenzrelationen handelt:

i) M=ℤ, R={(a,b)∈ℤxℤ |a-b|≤3

ii) M=ℤ, R={(a,b)∈ℤxℤ | es gibt k ∈ ℤ mit a=b+k*3}

iii) M=ℤ², R={((a₁,b₁),(a₂,b₂))∈MxM | a₁*b₂=a₂*b₁}

iv) M=ℝxℝ, R={((x₁,y₁),(x₂,y₂))∈MxM | x₁²+y₁²=x₂²+y₂²}

Bisher habe ich, dass:

i) keine Äquivalenzrelation ist, da nicht transitiv, denn:

z.B. erfüllen (1,3) und (3,5) die Relation, aber (1,5) nicht.

ii) ist ebenfalls keine Äquivalenzrelation, da nicht symmetrisch, denn:

z.B. für k=1 und (6,3) aber nicht für (3,6)

Korrekt soweit?

Bei iii) und iv) hänge ich, daher bitte um Hilfe :)

Edit: Reflexiv sind beide wohl, oder?

von

2 Antworten

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Beste Antwort

(iii) und (iv) sind es.

von

Würde ich machen, ja. Beide Bedingungen in der Äquivalenz hängen ja zusammen.

Also:

Symmetrie:

∃ k1∈Z:a=b+k1∗3⟺∃ k2∈Z:b=a+k2∗3

Diese Behauptung ist für k2=(-1)*k1 richtig.

Und jetzt noch transitiv. Formalismus beachten, der oben ist falsch. Außerdem hast Du nicht begründet, warum richtig.

∃ k1∈Z: a=b+3k ∧ ∃ k2∈Z: b=c+3k ⇒ ∃ k3∈Z: a=c+3k

Die Behauptung ist richtig für... hm. Man könnte a,b,c als rekursive Folge definieren, also xn+1 = x +3, x1 = 1, a=xn+2 ,b=xn+1 ,c=x und k=n

Oder?

Auf gar keinen Fall. Das ist eine Implikation. "Wenn k1 und k2, dann k3". Du setzt voraus, dass es ein k1 und ein k2 gibt, und willst dann ein k3 haben. Kriegst Du es? Wie sieht es aus?

(Du hast Deine k123 in den Formeln nicht richtig eingetragen.)

+2 Daumen
z.B. für k=1 und (6,3) aber nicht für (3,6)

Korrekt soweit?

Nein, nicht korrekt. Wenn es für (6,3) den Wert k=1 gibt, dann gibt es auch für (3,6) einen solchen k-Wert (in dem Fall k=-1).


a₁*b₂=a₂*b₁ kannst du übrigens umschreiben in a₁/b₁=a₂/ b₂ (sofern die Nenner nicht gerade 0 sind).

Die Paare sind also zueinander äquivalent, wenn sie die gleichen Brüche darstellen.

Damit ist auch die Transitivität klar (aus Bruch1=Bruch2 und Bruch2=Bruch3 folgt Bruch1=Bruch3).

von 10 k

Hey,

danke! ist das k bei ii) nicht fest? Ich meine, ich wähle ein k und prüfe dann ein beliebiges Tupel auf Symmetrie?

danke! ist das k bei ii) nicht fest?

Nein.  1 steht in Relation zu 4 steht in Relation zu 7 steht in Relation zu 10...

jeweils mit verschiedenem k.

Die Äquivalenzklassen sind hier die Restklassen mod 3.

Sorry, da komme ich nicht mit. Kannst du das genauer erklären?

Mein Gedanke zwischendurch:

ist ii) also symmetrisch weil es immer ein k gibt, das a=b+3k erfüllt, da b=a-3k?

Sorry, da komme ich nicht mit. Kannst du das genauer erklären?

1 steht in Relation zu 4, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  1+3k=4 (und zwar k=1).

1 steht in Relation zu 7, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  1+3k=7 (und zwar k=2).

1 steht in Relation zu 10, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  1+3k=10 (und zwar k=3).

Es gilt auch

4 steht in Relation zu 4, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  4+3k=4 (und zwar k=0).
4 steht in Relation zu 7, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  4+3k=7 (und zwar k=1).
4 steht in Relation zu 10, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  4+3k=10 (und zwar k=2).

Es gilt auch

4 steht in Relation zu 1, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  4+3k=1 (und zwar k=-1).
7 steht in Relation zu 1, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  7+3k=1 (und zwar k=-2).
10 steht in Relation zu 1, denn es gibt eine ganze Zahl k mit  10+3k=1 (und zwar k=-3).

Ok, stimmt dann die Begründung:

ist ii) also symmetrisch weil es immer ein k gibt, das a=b+3k erfüllt, da b=a-3k?

Transitiv geht dann also auch, da es auch immer k gibt für

aus a=b+3k und c=d+3k folgt a=d+3k?

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