Vektoren Lineare Unabhängigkeit, Linearkombination

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren aus ℝ³ linear unabhängig sind, und stellen Sie - falls möglich - den Vektor $$\vec{b}= \begin{pmatrix} 1\\5\\4 \end{pmatrix}$$ als Linearkombination dieser Vektoren dar.

$$a) \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix}$$

$$b) \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\4\\4 \end{pmatrix}$$

$$c) \begin{pmatrix} 1\\8\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2\\3\\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2\\0\\-3 \end{pmatrix}$$

$$d) \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Ich hoffe ihr könnt mir hier helfen. Ich vermute mal mir würde es reichen die Lösung von 1 oder 2 der Aufgaben zu sehen um den Rest dann selbst zu schaffen.

LG Crazy

Answer 1

a) Die gesuchte Linearkombination ist

\(x\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} \).

Dabei musst du \(x\), \(y\) und \(z\) so wählen, dass

\( x \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\5\\4 \end{pmatrix} \)

ist. Löse dazu die Gleichung

\(x \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\5\\4 \end{pmatrix} \).

Das geht zum Beispiel indem du aus der Gleichung drei Gleichungen machst (eine führ jede Komponente) und dann das resultierende Gleichungssystem löst.

Comments

Ok vielen Dank!

Ich habe allerdings ein Problem. Habe das Gleichungssystem gelöst und nun habe ich für z = -4.5 für y= -5 , wenn ich das jetzt in die erste Gleichung einsetze kommt 10.5 für x raus.

Das stimmt allerdings für die anderen gleichungen nicht, bedeutet das, dass keine Linearkombination möglich ist um den Vektor darzustellen ? ansonsten bin ich wohl selbst zu dumm um ein gleichungssystem zu lösen :(

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Es ist y = 13.

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Oh danke, jetzt hab ichs keine Ahnung wo mein Fehler war.

Und wann ist es nicht möglich mit der Linearkombination den Vektor darzustellen ? Wenn die Vektoren linear abhängig sind bzw. wenn es eben unendlich viele Lösungen gibt, da eine Nullzeile entsteht ? Oder hat das gar nichts damit zu tun ?

Danke für deine Antworten, hat mir echt richtig geholfen !

LG Crazy

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jetzt hab ichs keine Ahnung wo mein Fehler war.

Ich auch nicht.

Und wann ist es nicht möglich mit der Linearkombination den Vektor darzustellen ?

Wenn das entsprechende Gleichungssystem keine Lösung hat.

Wenn die Vektoren linear abhängig sind

Nein.

Die Vektoren \( \begin{pmatrix} 4\\-6\\9 \end{pmatrix}  \) und \( \begin{pmatrix} -6\\9\\-13,5 \end{pmatrix} \) sind linear abhängig, trotzdem lässt sich der Vektor \( \begin{pmatrix} 2\\-3\\4,5 \end{pmatrix} \) als Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen.

bzw

Ich weiß nicht, was du damit meinst.

wenn es eben unendlich viele Lösungen gibt

Nein.

Jede Lösung ist eine geeignete Belegung der Koeffizienten der Linearkombination. Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, dann gibt es unendliche viele Linearkombinationen um den entsprechende Vektor darzustellen.

da eine Nullzeile entsteht ?

Nullzeilen sind für die Anzahl der Lösungen nicht entscheidend.

Beispiel.

1. In dem Gleichungssystem
   

           x = 1
           2x = 2

   entsteht eine Nullzeile und es hat genau eine Lösung.
   

2. In dem Gleichungssystem

           x + y = 1
           2x +2y = 2

   entsteht eine Nullzeile und es hat unendlich viele Lösungen.

3. In dem Gleichungssystem

           x = 1
           2x = 3
           3x = 4

   entsteht eine Nullzeile und es hat keine Lösung.