Für welche rationale Zahl a gibt es eine lineare Abbildung?

Question

Aufgabe:

Geg: Vektoren v₁=(1, 2)^T, v₂=(3, -1)^T, v₃=(1, 16)^T im ℚ-Vektorraum ℚ^2. Für welche rationale Zahl a gibt es eine lineare Abbildung φ: ℚ²  → ℚ mit φ(v₁)=1, φ(v₂)=2, φ(v₃)= a

Problem/Ansatz:

Bin mir nicht sicher wie ich dieses a ausrechnen soll.

Ich dachte eher in einer Matrix

(1*x   0*y) * (1 2)^T=1

(1*x   1*y) * (3 -1)^T=2

(x y) * (1 16)^T=a  und hier bin ich mir nicht sicher oder geht das überhaupt in die richtige Richtung ?

Wäre nett wenn jemand mir da helfen könnte

Answer 1

Stelle v₃ als Linearkombination

        v₃ = r·v₁ + s·v₂

dar. Dann muss

        φ(v₃) = r·φ(v₁) + s·φ(v₂)

sein.

Comments

Also für alle a= r+2*s existiert eine lineare Abbildung ?

---

Also für alle a= r+2*s existiert eine lineare Abbildung ?

Ja.

Angesichts der Tatsache, dass es aber nur ein passendes Paar (r,s) gibt, finde ich das Wort "alle" etwas übertrieben.