Grenzwert von trigonometrischen Funktionen bestimmen (sin(x)-cos(x))/(1-tan(x)) -> pi/4

Question

Aufgabe:

Im folgenden soll ich den Grenzwert der Funktion (sin(x)-cos(x))/(1-tan(x)) -> π/4 bestimmen

Problem/Ansatz:

Der tan(π/4) ist 1 => Man teilt durch 0; Grenzwert bestimmen

Allgemein soll man den Grenzwert links- und rechtsseitig bestimmen und dann schauen ob es gegen den selben Wert strebt.

In der Funktion wie sie jetzt gegeben ist macht es aber keinen Sinn (in meinen Augen) zu versuchen diesen zu berechnen.

d.h. Man sollte zunächst versuchen die Funktion zu vereinfachen.

Ich habe schon diverse Versuche durchgeführt, kam aber zu keinem sinnvollen Ergebnis, wie z.B. tan(x) zu sin(x)/cos(x)

umzuformen oder aber 1 durch sin^2(x)+cos^2(x) zu ersetzen.

Falls es eine bessere Lösung gibt wäre ich euch sehr verbunden :)

Comments

kam aber zu keinem sinnvollen Ergebnis, wie z.B. tan(x) zu sin(x)/cos(x)

Dass man in dem Zusammenhang aber auch

1=cos(x)/cos(x)

schreiben sollte, ist dir bei deinem ansonsten vielversprechenden Ansatz nicht eingefallen?

Answer 1

Grenzwert von (sin(x)-cos(x))/(1-tan(x)) für x-> π/4.

\( \frac{sin(x)-cos(x)}{1-tan(x)} \) = - cos(x)

π/4  einsetzen: -\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Comments

Muss es nicht -cos^2(x) lauten?

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Habe meine Antwort korrigiert.

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Also kommt vereinfacht -cos^2(x) raus?

Falls ja kann man mir den Rechenweg zeigen?

Hab so meine Probleme mit den verschiedenen Umformungsmöglichkeiten :)

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tan(x)=\( \frac{sin(x)}{cos(x)} \) einsetzen:

\( \frac{sin(x)-cos(x)}{1-\frac{sin(x)}{cos(x)}} \).

Den Bruch mit cos(x) erweitern

\( \frac{cos(x)(sin(x)-cos(x))}{cos(x)-sin(x)} \)

cos(x)-sin(x)= -(sin(x)-cos(x)) einsetzen und kürzen:

Ergebnis -cos(x).

Der Kommentar, dass das cos²(x) heißen müsste gilt nicht mehr (ich hatte danach korrigiert.

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Vielen Dank für die Ausführung! :)