Ableitung bilden von trigonometrischen Funktionen: Bsp: f_1(x) = (cos(x))/(x^2+1)

Question

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden beiden Funktionen:
f₁(x) = (cos(x))/(x²+1)
f₂(x) = sin( (ln(x) )² )

Comments

1: Quotientenregel

2: Kettenregel

Answer 1

Hallo ziom,

f₁(x) = cos(x) / (x²+1) 

Quotientenregel : [ u / v ] '  =  ( u ' * v - u * v ' ) / v²

f₁' (x)  =  [ - sin(x) * (x² + 1 )  -  cos(x) * 2x ) ] / (x² + 1)²

f₂(x) = sin( (ln(x) )² )

Kettenregel (mehrfach) in Kurzform:

          [ f(u) ] ' = f '(u) * u '

 f₂ '(x) =  cos( (ln(x) )² )  *  [ (ln(x) )² ] '

             =   cos( (ln(x) )² )  *  2 * ln(x)  *  [ ln(x) ] ' 

         =   cos( (ln(x) )² ) * 2 * ln(x)  * 1/x   =  2/x * ln(x) * cos( (ln(x) )² ) 

Gruß Wolfgang