Der Ansatz dtdx=k(ca0−x)=−k(x−ca0) führt zu
x−ca0dx=−kdt Integration ergibt
ln(x−ca0)=−kt+ln(C) daraus ergibt sch
x(t)=ca0+Ce−kt
Sollte jetzt x(0)=0 gelten, folgt
x(0)=0=ca0+C also C=−ca0 und damit
x(t)=ca0(1−e−kt)
D.h. die Anfangskonzentration beträgt x(0)=0 und konvergiert für t→∞ gegen ca0 von unten.
Sollte die Anfangskonzentration aber wirklich x(0)=ca0 sein, folgt
x(0)=ca0=ca0+C also C=0
und damit ist die Lösung x(t)=C also eine Konstante.
Welche Anfangsbedingungen gelten sollen, musst Du aus der Aufgabenstellung ermitteln.
Die Konstante C in Deiner Lösung ist übrigens falsch gewählt. Denn aus −ln(ca0−x)=−kt+ln(ca0) folgt, wenn x(0)=0 gilt
−ln(ca0)=ln(ca0) und das ist nur richtig für ca0=1