Wie kann ich meine Differentialgleichung zu einem integralem Zeitgesetz umformen?

Question

Aufgabe:

Anfangskonzentration = c_a⁰       

Geschwindigkeitskonstante der Reaktion = k

Differentialgleichung :

dx/dt = k*(c_a⁰ -x)

Trennung der Variablen :

dx/(c_a⁰ -x) = kdt

Integration beider Seiten :

-ln(c_a⁰-x) = kt + C

C = ln c_a⁰

Mit dem Ergebnis :

x=c_a⁰ *(1-e^-kt)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Integration auf beiden Seiten nicht, vor allem verstehe ich nicht wieso das dx sowie das d von dt "verschwinden".

Vielen Dank für jede Hilfe !

Comments

Deine Lösung gibt für $t = 0$ nicht den Wert $c_a^0$ sondern den Wert $x(0) = 0$

Ist das so gewollt?

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Vom Duplikat:

Titel: Ich verstehe nicht wie ich dieses Differential integrieren soll?

Stichworte: differential,integration

Aufgabe:

dx/(c_a⁰ - x)

Die gegebene Lösung ist ln(c_a⁰ - x)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Lösung nicht und kann mir keinen sinnvollen Rechenweg erschließen. Vielen Dank für jegliche Hilfe

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f(x) = 1/(c-x)

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Das ist doch gleiche wie hier

https://www.mathelounge.de/683944/meine-differentialgleichung-integr…

Answer 1

Der Ansatz $$\frac{dx}{dt} = k (c_a^0 - x) = -k (x -c_a^0)$$ führt zu

$$\frac{dx}{ x -c_a^0} = -k dt$$ Integration ergibt

$$\ln(x-c_a^0) = -kt + \ln(C)$$ daraus ergibt sch

$$x(t) = c_a^0 + C e^{-k t}$$

Sollte jetzt $x(0) = 0$ gelten, folgt

$$x(0) = 0 = c_a^0 + C$$ also $C = -c_a^0$ und damit

$$x(t) = c_a^0 ( 1 - e^{-kt} )$$

D.h. die Anfangskonzentration beträgt $x(0) = 0$ und konvergiert für $t \to \infty$ gegen $c_a^0$ von unten.

Sollte die Anfangskonzentration aber wirklich $x(0) = c_a^0$ sein, folgt

$$x(0) = c_a^0 = c_a^0 + C$$ also $C = 0$

und damit ist die Lösung $$x(t) = C$$ also eine Konstante.

Welche Anfangsbedingungen gelten sollen, musst Du aus der Aufgabenstellung ermitteln.

Die Konstante $C$ in Deiner Lösung ist übrigens falsch gewählt. Denn aus $$-\ln(c_a^0 - x) = -kt + \ln(c_a^0)$$ folgt, wenn  $x(0) = 0$ gilt

$$-\ln(c_a^0) = \ln(c_a^0)$$ und das ist nur richtig für $c_a^0 = 1$

Answer 2

Aloha :)

Substituiere: $u=c_a^0-x\quad;\quad du=-dx\quad;\quad dx=-du$

$$\int\frac{dx}{c_a^0-x}=\int\frac{-du}{u}=-\int\frac{1}{u}\,du=-\ln|u|+\text{const}=-\ln|c_a^0-x|+\text{const}$$Bemerkung: Die Ableitung von $\ln(u)$ ist gleich $\frac{1}{u}$. Daher die Logarithmus-Funktion als Integral.