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Aufgabe:

Anfangskonzentration = ca0       

Geschwindigkeitskonstante der Reaktion = k

Differentialgleichung :

dx/dt = k*(ca0 -x)

Trennung der Variablen :

dx/(ca0 -x) = kdt

Integration beider Seiten :

-ln(ca0-x) = kt + C

C = ln ca0

Mit dem Ergebnis :

x=ca0 *(1-e-kt)


Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Integration auf beiden Seiten nicht, vor allem verstehe ich nicht wieso das dx sowie das d von dt "verschwinden".

Vielen Dank für jede Hilfe !

Avatar von

Deine Lösung gibt für t=0 t = 0 nicht den Wert ca0 c_a^0 sondern den Wert x(0)=0 x(0) = 0

Ist das so gewollt?

Vom Duplikat:

Titel: Ich verstehe nicht wie ich dieses Differential integrieren soll?

Stichworte: differential,integration

Aufgabe:

dx/(ca0 - x)

Die gegebene Lösung ist ln(ca- x)


Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Lösung nicht und kann mir keinen sinnvollen Rechenweg erschließen. Vielen Dank für jegliche Hilfe

f(x) = 1/(c-x)

2 Antworten

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Beste Antwort

Der Ansatz dxdt=k(ca0x)=k(xca0) \frac{dx}{dt} = k (c_a^0 - x) = -k (x -c_a^0) führt zu

dxxca0=kdt \frac{dx}{ x -c_a^0} = -k dt Integration ergibt

ln(xca0)=kt+ln(C) \ln(x-c_a^0) = -kt + \ln(C) daraus ergibt sch

x(t)=ca0+Cekt x(t) = c_a^0 + C e^{-k t}

Sollte jetzt x(0)=0 x(0) = 0 gelten, folgt

x(0)=0=ca0+C x(0) = 0 = c_a^0 + C also C=ca0 C = -c_a^0 und damit

x(t)=ca0(1ekt) x(t) = c_a^0 ( 1 - e^{-kt} )

D.h. die Anfangskonzentration beträgt x(0)=0 x(0) = 0 und konvergiert für t t \to \infty gegen ca0 c_a^0 von unten.

Sollte die Anfangskonzentration aber wirklich x(0)=ca0 x(0) = c_a^0 sein, folgt

x(0)=ca0=ca0+C x(0) = c_a^0 = c_a^0 + C also C=0 C = 0

und damit ist die Lösung x(t)=C x(t) = C also eine Konstante.

Welche Anfangsbedingungen gelten sollen, musst Du aus der Aufgabenstellung ermitteln.

Die Konstante C C in Deiner Lösung ist übrigens falsch gewählt. Denn aus ln(ca0x)=kt+ln(ca0) -\ln(c_a^0 - x) = -kt + \ln(c_a^0) folgt, wenn  x(0)=0 x(0) = 0 gilt

ln(ca0)=ln(ca0) -\ln(c_a^0) = \ln(c_a^0) und das ist nur richtig für ca0=1 c_a^0 = 1

Avatar von 39 k
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Aloha :)

Substituiere: u=ca0x;du=dx;dx=duu=c_a^0-x\quad;\quad du=-dx\quad;\quad dx=-du

dxca0x=duu=1udu=lnu+const=lnca0x+const\int\frac{dx}{c_a^0-x}=\int\frac{-du}{u}=-\int\frac{1}{u}\,du=-\ln|u|+\text{const}=-\ln|c_a^0-x|+\text{const}Bemerkung: Die Ableitung von ln(u)\ln(u) ist gleich 1u\frac{1}{u}. Daher die Logarithmus-Funktion als Integral.

Avatar von 153 k 🚀

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