Ableitung von f(x)= (x-a)*e^-(x-a)

Question

f(x)= (x-a)*e^-(x-a)

Hallo. Ich soll von der Funktion die Nullstellen berechnen. Ich habe die Lösung vom Lehrer bekommen, es ist x_N= a. Zumindest 1 Lösung davon. Ich komme aber nicht auf das Ergebnis.. Ich würde zunächst irgendwei das Logarithmusgesetz nutzen und x vom Exponent nach unten holen aber dadurch würde sich der andere Faktor im Term ja ebenfalls logarithmieren, sodass x ja dann nicht mehr "frei" ist..

KAnn mir da jemand bitte helfe.

Danke für die Mühe

LG

Comments

Was haben die NS mit der Ableitung zu tun?

Answer 1

Nullstellen

f(x) = (x - a) * e^{-(x - a)} = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt kann man alle Faktoren Null setzen

x - a = 0 → x = a

e^{-(x - a)} = 0 → Die e-Funktion nimmt nie den Wert 0 an. Hier gibt es keine Lösung.

Ableitung

f(x) = (x - a) * e^{-(x - a)}

f(x) = (x - a) * e^{-x + a}

f(x) = (x - a) * e^{a - x}

f'(x) = 1 * e^{a - x} + (x - a) * (-1) * e^{a - x}

f'(x) = 1 * e^{a - x} + (a - x) * e^{a - x}

f'(x) = (1 + a - x) * e^{a - x}

Comments

Genau so hab ich auch, nur dass ich halt noch das Minus vor der Klammer im ausmultipiieren muss.

Danke :)

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Das muss man nicht unbedingt ausmultiplizieren. Ich finde es aber schöner. Erleichtert auch die Sache bei weiteren Ableitungen.

Genauso finde ich es auch schöner den Exponenten ohne Klammer zu schreiben.

Aber das kann ja jeder machen wie er will.

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Danke, jetzt habe ich auch eine neue MEthode mit dem Nullprodukt besser kennengelernt.. :D

Answer 2

e hoch irgendwas ist nie 0, also gilt

(x-a) * e ^(-(x-a))  = 0

<=>  x-a = 0

<=>  x = a

Answer 3

Hallo,

Falls Du Beides wissen willst:

Nullstellen:

(x-a)*e^-(x-a)=0

Satz vom Nullprodukt:

x-a=0  x=a

e^-(x-a)=0 kann nicht 0 werden ->keine Lösung

\( \begin{array}{ll}{y=(x-a) e^{-(x-a)}} & {\cdot} \\ {y=x-a} & {; \quad v=e^{-(x-a)}} \\ {u^{\prime}=1} & {; \quad v^{\prime}=-e^{-(x-a)}}\end{array} \)

\( y^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \) allgemein
\( y^{\prime}=1 \cdot e^{-(x-a)}+(x-a)(-) e^{-( x-a) } \)
\( y^{\prime}=e^{-(x-a)}[1-x+a] \)