Nullstellen für 2sin(x) - 1

Question

Aufgabe:

gegeben ist die Funktion f(x)=2sinx - 1. Für welche x-Werte (0<x<2pi) ergibt sich der Funktionswert 0 (1; 1/2·√2)

Problem/Ansatz:

2 sinx -1 = 0
sinx = 0,5  

jetzt kann ich zwar aus der Tabelle ablesen, dass sin 0,5 30 Grad entspricht und somit 1/6 pi ist. Die Periode bleibt 2pi somit müsste die zweite Nullstelle bei 7/6 pi sein. Laut Lösung liegt sie aber bei 5/6 pi. warum?…

Answer 1

Hallo

1, kannst du das am Einheitskreis ablesen, oder sehen, dass sin(x) symmetrisch zu pi/2 ist, also sin(pi/2-a)=sin(pi/2+a) sin(pi/6)=sin(pi/2-pi/3)=sin(pi/2+pi/3)=sin(5/6*pi)

es lohnt sich bei so Aufgaben immer ne _Skizze von (sin(x) zu machen oder vor dir zu sehen.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Die Periodenlänge von \(2\pi\) nützt dir nichts, weil du die Winkel im Intervall \(0<x<2\pi\) angeben sollst. Beachte aber, dass gilt:$$\sin(x)=\sin(\pi-x)$$Vor dem Lösen der Aufgaben stellen wir noch die Gleichung um:$$y=2\sin x-1\;\;\Leftrightarrow\;\;\sin x=\frac{y+1}{2}$$Jetzt kannst du alle Fälle durcharbeiten:

$$y=0\;\;\Rightarrow\;\;\sin x=\frac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{\pi}{6}\,|\,\frac{5\pi}{6}$$$$y=1\;\;\Rightarrow\;\;\sin x=1\;\;\Rightarrow\;\;x=\frac{\pi}{2}$$$$y=\frac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\;\sin x=\frac{3}{4}\;\;\Rightarrow\;\;x\approx0,8481\,|\,2,2935$$$$y=\sqrt2\;\;\Rightarrow\;\;\sin x=\frac{\sqrt2+1}{2}>1\;\;\Rightarrow\;\;\text{keine Lösung}$$