Aloha :)
Betrachte allgemeiner:$$I(y)=\int\limits_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx$$Der Zähler des Differenzenquotienten ist dann:
$$\Delta I=I(y+\Delta y)-I(y)=\int\limits_{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,y+\Delta y)dx-\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx$$$$=\!\!\int\limits_{a+\Delta a}^{a}f(x,y+\Delta y)dx+\!\int\limits_{a}^{b}f(x,y+\Delta y)dx\!+\!\!\int\limits_{b}^{b+\Delta b}\!f(x,y+\Delta y)dx-\!\int\limits_{a}^{b}\!f(x,y)\,dx$$$$=\int\limits_{a}^{b}\left[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\right]dx+\int\limits_{b}^{b+\Delta b}f(x,y+\Delta y)dx-\int\limits_{a}^{a+\Delta a}f(x,y+\Delta y)dx$$Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gilt:
$$\exists\,\vartheta\in[b;b+\Delta b]:\;\;\int\limits_{b}^{b+\Delta b}f(x,y+\Delta y)dx=f(\vartheta,y+\Delta y)\cdot(b+\Delta b-b)$$$$\exists\,\nu\in[a;a+\Delta a]:\;\;\int\limits_{a}^{a+\Delta a}f(x,y+\Delta y)dx=f(\nu,y+\Delta y)\cdot(a+\Delta a-a)$$Damit lautet der Differenzenquotient
$$\frac{\Delta I}{\Delta y}=\int\limits_{a}^{b}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}dx+\frac{f(\vartheta,y+\Delta y)\cdot\Delta b}{\Delta y}-\frac{f(\nu,y+\Delta y)\cdot\Delta a}{\Delta y}$$Wenn wir nun den Grenzwert \(\Delta y\to0\) bilden, laufen auch \(\Delta a\) und \(\Delta b\) gegen \(0\). Da \(\vartheta\in[b;b+\Delta b]\) und \(\nu\in[a;a+\Delta a]\) sein müssen, heißt das im Grenzübergang \(\vartheta\to b\) und \(\nu\to a\). Also gilt:
$$\boxed{\frac{d}{dy}\int\limits_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,dx=\int\limits_{a}^{b}\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,dx+f(b,y)\frac{db}{dy}-f(a,y)\frac{da}{dy}}$$Auf den konkreten Fall hier angewendet heißt das:$$h'(y)=\frac{d}{dy}\int\limits_{y^2}^y f(x,y)dx=\int\limits_{y^2}^y\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,dx+f(y,y)\cdot1-f(y^2,y)\cdot2y$$
