Untervektorräume finden, sodass U1 ⊕ U2 = U1 ⊕ U3 = U2 ⊕ U3 = ℚ2

Question

Aufgabe:

Finden Sie im Standardraum ℚ² Untervektorräume U₁, U₂, U₃, sodass
U₁ ⊕ U₂ = U₁ ⊕ U₃ = U₂ ⊕ U₃ = ℚ² gelten.

Wenn ich das richtig verstanden habe, gilt ja U₁ ⊕ U₂ <=> U₁ ∩ U₂ = 0

Hab mir jetzt folgenden drei UVR überlegt:

$$ U_1 =\{ \alpha \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \big \vert \alpha \in \mathbb{Q} \}, U_2 =   \{ \beta \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \big \vert \beta \in \mathbb{Q} \}, U_3 = \{ \gamma \cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \big \vert \gamma \in \mathbb{Q} \}$$

Dass die jeweils direkte Summen bilden ist glaube ich klar. Wie argumentiere ich aber jetzt formal, dass diese jeweils gleich ℚ² sind? Oder ist das überhaupt so?

Answer 1

Hallo

dadurch dass je 2 der Vektoren ganz Q^2 aufspannen, oder sogar ne Basis von Q^2 bilden, da je 2 Lin unabhängig sind.

Gruß lul

Comments

Danke.

Und dass die Summen jeweils direkt sind folgt einfach daraus, dass der Schnitt jeweils die leere Menge ist. Reicht das als Argument, oder muss das auch noch formaler sein?

---

Hallo

 nach meiner Meinung reicht das.

Gruß lul