Basis bezüglich Abbildungsmatrix bestimmen

Question

Ich habe folgende lineare Abbildung gegeben:

$\Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}{x-2 y+z} \\ {-4 x+2 y-z}\end{array}\right)$.

Nun möchte eine Basis C des Bildraums $\mathbb{R}^{2}$ finden, sodass die Abbildungsmatrix bezüglich B und C die Gestalt 

$M_{\mathscr{C}}^{\mathscr{B}}(\Phi)=\left(\begin{array}{lll}{0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$

besitzt. 

Hierbei beschreibt B die Basis dreier Vektoren (des $\mathbb{R}^{3}$), welche in einer vorherigen Aufgabe berechnet wurde. B ist folgende:

$B_{\varepsilon_{2}}^{\varepsilon_{3}}(\Phi)=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-2} & {1} \\ {-4} & {2} & {-1}\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht wie ich dies bestimmen kann. Ein Beispiel würde mir sehr weiterhelfen. Mein Ansatz war folgender:

Also im Prinzip so wie ich in der vorherigen Aufgabe die Abbildungsmatrix bestimmt habe, nur nich mit Konkreten Basis-Werten, sondern mit Koordinaten, welche ich mit den jeweiligen Werten aus der Abbildungsmatrix M entnommen habe. Geht aber nicht, da 3 Variablen in 2 "Zeilen" des LGS..

Vielen Dank für jede Antwort!

Comments

Ohne die Basis B zu kennen ist das aber wohl nicht machbar.

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@mathef sorry! Hier die Basis B:

b1=(0,1,2)T

b2=(2,0,2)T

b3=(-3,0,1)T

Answer 1

Berechne zuerst die Bilder der Basisvektoren von B:

$$\Phi(b_1) = (0,0)^T, \quad \Phi(b_2) = (4,-10)^T, \quad \Phi(b_3) = (-2,11)^T$$

Jetzt suchst du eine Basis $(c_1,c_2)$, s.d.

$$\Phi(b_1) = 0c_1 + 0c_2\\ \Phi(b_2) = 1c_1 + 0c_2\\ \Phi(b_3) = 0c_1 + 1c_2$$

(in den Spalten stehen die Koordinaten dieser Bilder bzgl der Basis C) ... und da steht sie auch schon da.

Comments

Vielen Dank EmNero!

Noch eine kleine Frage:

-> "(in den Spalten stehen die Koordinaten dieser Bilder bzgl der Basis C)"

das ist mir klar, aber

->  "... und da steht sie auch schon da."

hab ich leider nicht verstanden. Eine Basis besteht doch im R² aus zwei Vektoren (c1, c2) aber wo kann ich diese nun herauslesen?

LG!

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$$(4,-10)^T = \Phi(b_2) = 1c_1 + 0c_2 = c_1\\ (-2,11)^T=\Phi(b_3) = 0c_1 + 1c_2=c_2$$