Lineare Abbildung und Matrix

Question

Aufgabe:

Betrachten sie die lineare Abbildung

L: R³ ---> R⁴ , (x₁)            (3x₁ + 2x₂ + 8x₃ )

                       (x₂)    --->   ( x₁ + 2x₃           )

                       (x₃)            ( -2x₁ + 5x₂ + x₃ )

                                         (x₁  +4x₂ + 6x₃   )

a) Geben Sie L(x) für x ∈ R³ in der Form Ax an, wobei A eine geeignete matrix ist.

b)Überprüfen Sie die Dimensionsformel für L, indem Sie Basen von Kern L und Bild L angeben

c) Ermitteln sie den Untervektorraum U  c R³  , sodass U ∩ Kern L = {0} und

                                spann(b₁ , ..., b_dim(U) ,k₁ ,.....,k_{dim(Kern L)} ) = R³ 

gilt, wobei {b₁ ,....,b_dim(U) } und {k₁ ,......,k_{dim(Kern L)} ) } Basen von U bzw. Kern L sind. Ist die Wahl von U eindeutig?

Problem/Ansatz:

Bei der a verstehe ich nicht wie man es in der Form Ax angeben soll. Bei der b verstehe ich niht was mit dieser Überprüfung gemeint ist und was man da überhaupt machen muss und bei der c kriege ich es nicht hin den Untervektorraum zu ermittlen so dass diese Bedingungen gelten.

Answer 1

Zu a)

$$ f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}3x_1+2x_2+8x_3\\x_1+2x_3\\-2x_1+5x_2+x_3\\x_1+4x_2+6x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3&2&8\\1&0&2\\-2&5&1\\1&4&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} $$

Bei b) sollst du eine Basis vom Kern und vom Bild bestimmen, dann die Dimension dieser Objekte angeben und schauen ob die Gleichung

$$ \dim \mathbb{R}^3 = \dim \operatorname{Kern} L + \dim \operatorname{Bild} L $$

erfüllt ist. Das ist die sog. Dimensionsformel.

Für c) brauchst du zuerst die Basis des Kerns aus b). Wie lautet diese?